ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 24.9 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а) $\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x = \sin \left( \frac{\pi}{3} + x \right)$;

б) $\frac{1}{2} \cos x — \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x = \cos \left( \frac{\pi}{3} + x \right)$;

в) $\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x — \frac{1}{2} \sin x = \sin \left( \frac{\pi}{3} — x \right)$;

г) $\frac{1}{2} \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x = \cos \left( \frac{\pi}{3} — x \right)$

Доказать тождество:

а) $\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x = \sin \left( \frac{\pi}{3} + x \right)$;

Преобразуем правую часть равенства:

$$\sin \left( \frac{\pi}{3} + x \right) = \sin \frac{\pi}{3} \cdot \cos x + \cos \frac{\pi}{3} \cdot \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x;$$

Тождество доказано.

б) $\frac{1}{2} \cos x — \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x = \cos \left( \frac{\pi}{3} + x \right)$;

Преобразуем правую часть равенства:

$$\cos \left( \frac{\pi}{3} + x \right) = \cos \frac{\pi}{3} \cdot \cos x — \sin \frac{\pi}{3} \cdot \sin x = \frac{1}{2} \cos x — \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x;$$

Тождество доказано.

в) $\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x — \frac{1}{2} \sin x = \sin \left( \frac{\pi}{3} — x \right)$;

Преобразуем правую часть равенства:

$$\sin \left( \frac{\pi}{3} — x \right) = \sin \frac{\pi}{3} \cdot \cos x — \cos \frac{\pi}{3} \cdot \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x — \frac{1}{2} \sin x;$$

Тождество доказано.

г) $\frac{1}{2} \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x = \cos \left( \frac{\pi}{3} — x \right)$;

Преобразуем правую часть равенства:

$$\cos \left( \frac{\pi}{3} — x \right) = \cos \frac{\pi}{3} \cdot \cos x + \sin \frac{\pi}{3} \cdot \sin x = \frac{1}{2} \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x;$$

Тождество доказано.

а) $\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x = \sin \left( \frac{\pi}{3} + x \right)$

Левая часть:

Левую часть тождества можно просто переписать:

$$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x$$

Это выражение представляет собой линейную комбинацию $\cos x$ и $\sin x$.

Правая часть:

Для того чтобы упростить правую часть тождества, воспользуемся формулой для синуса суммы углов:

$$\sin (A + B) = \sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B$$

Подставим в неё $A = \frac{\pi}{3}$ и $B = x$:

$$\sin \left( \frac{\pi}{3} + x \right) = \sin \frac{\pi}{3} \cdot \cos x + \cos \frac{\pi}{3} \cdot \sin x$$

Теперь нужно знать значения $\sin \frac{\pi}{3}$ и $\cos \frac{\pi}{3}$:

$$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$$

Подставим эти значения в выражение:

$$\sin \left( \frac{\pi}{3} + x \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x$$

Сравнение левой и правой части:

Мы видим, что правая часть тождества совпадает с левой, так как:

$$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x$$

Таким образом, тождество доказано.

б) $\frac{1}{2} \cos x — \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x = \cos \left( \frac{\pi}{3} + x \right)$

Левая часть:

Левую часть тождества можно переписать:

$$\frac{1}{2} \cos x — \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x$$

Это также линейная комбинация $\cos x$ и $\sin x$.

Правая часть:

Для правой части воспользуемся формулой для косинуса суммы углов:

$$\cos (A + B) = \cos A \cdot \cos B — \sin A \cdot \sin B$$

Подставим в неё $A = \frac{\pi}{3}$ и $B = x$:

$$\cos \left( \frac{\pi}{3} + x \right) = \cos \frac{\pi}{3} \cdot \cos x — \sin \frac{\pi}{3} \cdot \sin x$$

Теперь подставим значения $\cos \frac{\pi}{3}$ и $\sin \frac{\pi}{3}$:

$$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Тогда выражение становится:

$$\cos \left( \frac{\pi}{3} + x \right) = \frac{1}{2} \cos x — \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x$$

Сравнение левой и правой части:

Мы видим, что правая часть тождества совпадает с левой:

$$\frac{1}{2} \cos x — \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x = \frac{1}{2} \cos x — \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x$$

Таким образом, тождество доказано.

в) $\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x — \frac{1}{2} \sin x = \sin \left( \frac{\pi}{3} — x \right)$

Левая часть:

Левую часть тождества перепишем:

$$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x — \frac{1}{2} \sin x$$

Это снова линейная комбинация $\cos x$ и $\sin x$.

Правая часть:

Для правой части воспользуемся формулой для синуса разности углов:

$$\sin (A — B) = \sin A \cdot \cos B — \cos A \cdot \sin B$$

Подставим в неё $A = \frac{\pi}{3}$ и $B = x$:

$$\sin \left( \frac{\pi}{3} — x \right) = \sin \frac{\pi}{3} \cdot \cos x — \cos \frac{\pi}{3} \cdot \sin x$$

Подставим значения $\sin \frac{\pi}{3}$ и $\cos \frac{\pi}{3}$:

$$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$$

Тогда выражение для правой части будет:

$$\sin \left( \frac{\pi}{3} — x \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x — \frac{1}{2} \sin x$$

Сравнение левой и правой части:

Мы видим, что правая часть тождества совпадает с левой:

$$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x — \frac{1}{2} \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x — \frac{1}{2} \sin x$$

Таким образом, тождество доказано.

г) $\frac{1}{2} \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x = \cos \left( \frac{\pi}{3} — x \right)$

Левая часть:

Левую часть тождества перепишем:

$$\frac{1}{2} \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x$$

Это также линейная комбинация $\cos x$ и $\sin x$.

Правая часть:

Для правой части воспользуемся формулой для косинуса разности углов:

$$\cos (A — B) = \cos A \cdot \cos B + \sin A \cdot \sin B$$

Подставим в неё $A = \frac{\pi}{3}$ и $B = x$:

$$\cos \left( \frac{\pi}{3} — x \right) = \cos \frac{\pi}{3} \cdot \cos x + \sin \frac{\pi}{3} \cdot \sin x$$

Подставим значения $\cos \frac{\pi}{3}$ и $\sin \frac{\pi}{3}$:

$$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Тогда выражение для правой части становится:

$$\cos \left( \frac{\pi}{3} — x \right) = \frac{1}{2} \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x$$

Сравнение левой и правой части:

Мы видим, что правая часть тождества совпадает с левой:

$$\frac{1}{2} \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x = \frac{1}{2} \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x$$

Таким образом, тождество доказано.