ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 25.11 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Известно, что $\operatorname{tg} a = \frac{1}{2}$, $\operatorname{tg} \beta = \frac{1}{3}$. Вычислите:

а) $\mathrm{tg}(a+\beta )$

б) $\mathrm{tg}(a-\beta )$

Известно, что $\operatorname{tg} a = \frac{1}{2}$ и $\operatorname{tg} \beta = \frac{1}{3}$;

а) $\operatorname{tg}(a + \beta) = \frac{\operatorname{tg} a + \operatorname{tg} \beta}{1 — \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 — \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = \left( \frac{3}{6} + \frac{2}{6} \right) : \left( \frac{6}{6} — \frac{1}{6} \right) = \frac{5}{6} : \frac{5}{6} = 1$;

Ответ: 1.

б) $\operatorname{tg}(a — \beta) = \frac{\operatorname{tg} a — \operatorname{tg} \beta}{1 + \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta} = \frac{\frac{1}{2} — \frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = \left( \frac{3}{6} — \frac{2}{6} \right) : \left( \frac{6}{6} + \frac{1}{6} \right) = \frac{1}{6} : \frac{7}{6} = \frac{1}{7}$;

Ответ: $\frac{1}{7}$.

Дано:

$$\operatorname{tg} a = \frac{1}{2},\quad \operatorname{tg} \beta = \frac{1}{3}$$

а) Найти $\operatorname{tg}(a + \beta)$

Шаг 1. Вспомним формулу:

$$\operatorname{tg}(a + \beta) = \frac{\operatorname{tg} a + \operatorname{tg} \beta}{1 — \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta}$$

Шаг 2. Подставим значения:

$$\operatorname{tg}(a + \beta) = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 — \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}}$$

Шаг 3. Сложим числитель:

Приводим к общему знаменателю (наименьшее общее кратное для 2 и 3 — это 6):

$$\frac{1}{2} = \frac{3}{6},\quad \frac{1}{3} = \frac{2}{6}$$ $$\Rightarrow \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$$

Шаг 4. Упростим знаменатель:

$$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$$ $$1 — \frac{1}{6} = \frac{6}{6} — \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$$

Шаг 5. Делим дроби:

$$\frac{5}{6} : \frac{5}{6} = 1$$

Ответ: $\boxed{1}$

б) Найти $\operatorname{tg}(a — \beta)$

Шаг 1. Вспомним формулу:

$$\operatorname{tg}(a — \beta) = \frac{\operatorname{tg} a — \operatorname{tg} \beta}{1 + \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta}$$

Шаг 2. Подставим значения:

$$\operatorname{tg}(a — \beta) = \frac{\frac{1}{2} — \frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}}$$

Шаг 3. Вычтем в числителе:

$$\frac{1}{2} = \frac{3}{6},\quad \frac{1}{3} = \frac{2}{6}$$ $$\Rightarrow \frac{1}{2} — \frac{1}{3} = \frac{3}{6} — \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$$

Шаг 4. Посчитаем знаменатель:

$$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$$ $$1 + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} + \frac{1}{6} = \frac{7}{6}$$

Шаг 5. Делим дроби:

$$\frac{1}{6} : \frac{7}{6} = \frac{1}{6} \cdot \frac{6}{7} = \frac{6}{42} = \frac{1}{7}$$

Ответ: $\boxed{\frac{1}{7}}$