ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 25.12 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Вычислить $\operatorname{tg} a$, если $\operatorname{tg}\left(a — \frac{\pi}{4}\right) = 3$

б) Вычислить $\operatorname{ctg} a$, если $\mathrm{tg}(a+\frac{\pi }{4})=0,2$

а) Вычислить $\operatorname{tg} a$, если $\operatorname{tg}\left(a — \frac{\pi}{4}\right) = 3$:

$$\operatorname{tg}\left(a — \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\operatorname{tg} a — \operatorname{tg} \frac{\pi}{4}}{1 + \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \frac{\pi}{4}} = \frac{\operatorname{tg} a — 1}{1 + \operatorname{tg} a \cdot 1} = \frac{\operatorname{tg} a — 1}{\operatorname{tg} a + 1} = 3;$$ $$\operatorname{tg} a — 1 = 3 \cdot (\operatorname{tg} a + 1);$$ $$\operatorname{tg} a — 1 = 3 \operatorname{tg} a + 3;$$ $$2 \operatorname{tg} a = -4;$$ $$\operatorname{tg} a = -2;$$

Ответ: $-2$.

б) Вычислить $\operatorname{ctg} a$, если $\operatorname{tg}\left(a + \frac{\pi}{4}\right) = 0,2$:

$$\operatorname{tg}\left(a + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\operatorname{tg} a + \operatorname{tg} \frac{\pi}{4}}{1 — \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \frac{\pi}{4}} = \frac{\operatorname{tg} a + 1}{1 — \operatorname{tg} a \cdot 1} = \frac{1 + \operatorname{tg} a}{1 — \operatorname{tg} a} = 0,2;$$ $$1 + \operatorname{tg} a = 0,2 \cdot (1 — \operatorname{tg} a);$$ $$1 + \operatorname{tg} a = 0,2 — 0,2 \operatorname{tg} a;$$ $$1,2 \operatorname{tg} a = -0,8;$$ $$\operatorname{tg} a = \frac{-0,8}{1,2} = \frac{-8}{12} = -\frac{2}{3};$$ $$\operatorname{ctg} a = \frac{1}{\operatorname{tg} a} = \frac{3}{2} = -1,5;$$

Ответ: $-1,5$.

а) Найти $\operatorname{tg} a$, если

$$\operatorname{tg}\left(a — \frac{\pi}{4}\right) = 3$$

Шаг 1. Формула тангенса разности:

$$\operatorname{tg}(x — y) = \frac{\operatorname{tg}x — \operatorname{tg}y}{1 + \operatorname{tg}x \cdot \operatorname{tg}y}$$

Заменим:
$x = a$, $y = \frac{\pi}{4}$, тогда:

$$\operatorname{tg}\left(a — \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\operatorname{tg} a — \operatorname{tg} \frac{\pi}{4}}{1 + \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \frac{\pi}{4}}$$

Шаг 2. Подставим $\operatorname{tg}\frac{\pi}{4} = 1$:

$$\frac{\operatorname{tg} a — 1}{1 + \operatorname{tg} a \cdot 1} = \frac{\operatorname{tg} a — 1}{\operatorname{tg} a + 1}$$

Шаг 3. Приравниваем к 3 по условию:

$$\frac{\operatorname{tg} a — 1}{\operatorname{tg} a + 1} = 3$$

Шаг 4. Умножим обе части на знаменатель:

$$\operatorname{tg} a — 1 = 3(\operatorname{tg} a + 1)$$

Шаг 5. Раскроем скобки:

$$\operatorname{tg} a — 1 = 3 \cdot \operatorname{tg} a + 3$$

Шаг 6. Переносим все в одну сторону:

$$\operatorname{tg} a — 3 \cdot \operatorname{tg} a = 3 + 1 \Rightarrow -2 \cdot \operatorname{tg} a = 4$$

Шаг 7. Делим обе части на $-2$:

$$\operatorname{tg} a = \frac{-4}{2} = -2$$

Ответ: $\boxed{-2}$

б) Найти $\operatorname{ctg} a$, если

$$\operatorname{tg}\left(a + \frac{\pi}{4}\right) = 0{,}2$$

Шаг 1. Формула тангенса суммы:

$$\operatorname{tg}(x + y) = \frac{\operatorname{tg}x + \operatorname{tg}y}{1 — \operatorname{tg}x \cdot \operatorname{tg}y}$$

Подставим $x = a$, $y = \frac{\pi}{4}$:

$$\operatorname{tg}\left(a + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\operatorname{tg} a + \operatorname{tg} \frac{\pi}{4}}{1 — \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \frac{\pi}{4}}$$

Шаг 2. Подставим $\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = 1$:

$$\frac{\operatorname{tg} a + 1}{1 — \operatorname{tg} a} = 0{,}2$$

Шаг 3. Приравниваем:

$$\frac{1 + \operatorname{tg} a}{1 — \operatorname{tg} a} = 0{,}2$$

Шаг 4. Умножим обе части на $1 — \operatorname{tg} a$:

$$1 + \operatorname{tg} a = 0{,}2 \cdot (1 — \operatorname{tg} a)$$

Шаг 5. Раскроем скобки:

$$1 + \operatorname{tg} a = 0{,}2 — 0{,}2 \cdot \operatorname{tg} a$$

Шаг 6. Перенесем все в одну сторону:

Сложим с обеих сторон $0{,}2 \cdot \operatorname{tg} a$:

$$1 + \operatorname{tg} a + 0{,}2 \cdot \operatorname{tg} a = 0{,}2$$

Шаг 7. Объединим подобные члены:

$$1 + 1{,}2 \cdot \operatorname{tg} a = 0{,}2$$

Шаг 8. Вычтем 1 из обеих сторон:

$$1{,}2 \cdot \operatorname{tg} a = 0{,}2 — 1 = -0{,}8$$

Шаг 9. Найдём $\operatorname{tg} a$:

$$\operatorname{tg} a = \frac{-0{,}8}{1{,}2}$$

Упростим:

$$\frac{-0{,}8}{1{,}2} = \frac{-8}{12} = -\frac{2}{3}$$

Шаг 10. Найдём $\operatorname{ctg} a$:

$$\operatorname{ctg} a = \frac{1}{\operatorname{tg} a} = \frac{1}{-\frac{2}{3}} = -\frac{3}{2} = -1{,}5$$

Ответ: $\boxed{-1{,}5}$