ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 25.13 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Зная, что $\operatorname{tg} \alpha = 3$ и $\operatorname{tg}(\alpha + \beta) = 1$, вычислите $\operatorname{tg} \beta$;

б) зная, что $\operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{4}$ и $\operatorname{tg}(\alpha — \beta) = 2$, вычислите $\operatorname{tg} \beta$.

а) Вычислить $\operatorname{tg} \beta$, если $\operatorname{tg} a = 3$ и $\operatorname{tg}(a + \beta) = 1$:

$$\operatorname{tg}(a + \beta) = \frac{\operatorname{tg} a + \operatorname{tg} \beta}{1 — \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta} = \frac{3 + \operatorname{tg} \beta}{1 — 3 \operatorname{tg} \beta} = 1;$$ $$3 + \operatorname{tg} \beta = 1 — 3 \operatorname{tg} \beta;$$ $$4 \operatorname{tg} \beta = -2;$$ $$\operatorname{tg} \beta = -\frac{1}{2};$$

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

б) Вычислить $\operatorname{tg} \beta$, если $\operatorname{tg} a = \frac{1}{4}$ и $\operatorname{tg}(a — \beta) = 2$:

$$\operatorname{tg}(a — \beta) = \frac{\operatorname{tg} a — \operatorname{tg} \beta}{1 + \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta} = \frac{\frac{1}{4} — \operatorname{tg} \beta}{1 + \frac{1}{4} \operatorname{tg} \beta} = \frac{1 — 4 \operatorname{tg} \beta}{4 + \operatorname{tg} \beta} = 2;$$ $$1 — 4 \operatorname{tg} \beta = 2 \cdot (4 + \operatorname{tg} \beta);$$ $$1 — 4 \operatorname{tg} \beta = 8 + 2 \operatorname{tg} \beta;$$ $$6 \operatorname{tg} \beta = -7;$$ $$\operatorname{tg} \beta = -\frac{7}{6} = -1 \frac{1}{6};$$

Ответ: $-1 \frac{1}{6}$.

а) Найти $\operatorname{tg} \beta$, если $\operatorname{tg} a = 3$ и $\operatorname{tg}(a + \beta) = 1$

Шаг 1. Формула тангенса суммы:

$$\operatorname{tg}(a + \beta) = \frac{\operatorname{tg} a + \operatorname{tg} \beta}{1 — \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta}$$

Шаг 2. Подставим известные значения:

$$\operatorname{tg}(a + \beta) = 1,\quad \operatorname{tg} a = 3$$ $$\Rightarrow \frac{3 + \operatorname{tg} \beta}{1 — 3 \cdot \operatorname{tg} \beta} = 1$$

Шаг 3. Умножим обе части уравнения на знаменатель $1 — 3 \cdot \operatorname{tg} \beta$:

$$3 + \operatorname{tg} \beta = 1 \cdot (1 — 3 \cdot \operatorname{tg} \beta)$$ $$3 + \operatorname{tg} \beta = 1 — 3 \cdot \operatorname{tg} \beta$$

Шаг 4. Переносим все в одну сторону:

$$3 + \operatorname{tg} \beta + 3 \cdot \operatorname{tg} \beta = 1 \Rightarrow 3 + 4 \cdot \operatorname{tg} \beta = 1$$

Шаг 5. Выразим $\operatorname{tg} \beta$:

$$4 \cdot \operatorname{tg} \beta = 1 — 3 = -2$$ $$\operatorname{tg} \beta = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$

Ответ: $\boxed{-\frac{1}{2}}$

б) Найти $\operatorname{tg} \beta$, если $\operatorname{tg} a = \frac{1}{4}$ и $\operatorname{tg}(a — \beta) = 2$

Шаг 1. Формула тангенса разности:

$$\operatorname{tg}(a — \beta) = \frac{\operatorname{tg} a — \operatorname{tg} \beta}{1 + \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta}$$

Шаг 2. Подставим значения:

$$\operatorname{tg} a = \frac{1}{4},\quad \operatorname{tg}(a — \beta) = 2$$ $$\Rightarrow \frac{\frac{1}{4} — \operatorname{tg} \beta}{1 + \frac{1}{4} \cdot \operatorname{tg} \beta} = 2$$

Шаг 3. Избавимся от дробей — домножим числитель и знаменатель на 4:

$$\frac{1 — 4 \cdot \operatorname{tg} \beta}{4 + \operatorname{tg} \beta} = 2$$

Шаг 4. Умножим обе части на знаменатель:

$$1 — 4 \cdot \operatorname{tg} \beta = 2 \cdot (4 + \operatorname{tg} \beta)$$

Шаг 5. Раскроем скобки справа:

$$1 — 4 \cdot \operatorname{tg} \beta = 8 + 2 \cdot \operatorname{tg} \beta$$

Шаг 6. Переносим всё в одну сторону:

$$1 — 4 \cdot \operatorname{tg} \beta — 8 — 2 \cdot \operatorname{tg} \beta = 0$$ $$-7 — 6 \cdot \operatorname{tg} \beta = 0$$

Шаг 7. Выразим $\operatorname{tg} \beta$:

$$-6 \cdot \operatorname{tg} \beta = 7 \Rightarrow \operatorname{tg} \beta = -\frac{7}{6}$$

Шаг 8. Преобразуем в смешанное число:

$$\operatorname{tg} \beta = -1 \frac{1}{6}$$

Ответ: $\boxed{-1 \frac{1}{6}}$