ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 25.15 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Известно, что $\cos a = \frac{3}{5}$, $0 < a < \frac{\pi}{2}$. Вычислите:

а) $\mathrm{tg}(a+\frac{\pi }{3})$

б) $\mathrm{tg}(a-\frac{5\pi }{4})$

Известно, что $\cos a = \frac{3}{5}$ и $0 < a < \frac{\pi}{2}$.

Точка $a$ принадлежит первой четверти, значит:

$$\sin a = +\sqrt{1 — \cos^2 a} = \sqrt{1 — \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{25} — \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5};$$ $$\tg a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{3} = \frac{4}{3};$$

а) $\tg\left(a + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\tg a + \tg \frac{\pi}{3}}{1 — \tg a \cdot \tg \frac{\pi}{3}} = \frac{\frac{4}{3} + \sqrt{3}}{1 — \frac{4}{3} \cdot \sqrt{3}} = \left(\frac{4}{3} + \frac{3\sqrt{3}}{3}\right) : \left(\frac{3}{3} — \frac{4\sqrt{3}}{3}\right) =$

$$= \frac{4 + 3\sqrt{3}}{3} : \frac{3 — 4\sqrt{3}}{3} = \frac{4 + 3\sqrt{3}}{3 — 4\sqrt{3}} = \frac{(4 + 3\sqrt{3})(3 + 4\sqrt{3})}{(3 — 4\sqrt{3})(3 + 4\sqrt{3})} =$$ $$= \frac{12 + 16\sqrt{3} + 9\sqrt{3} + 36}{9 — 48} = \frac{25\sqrt{3} + 48}{-39} = -\frac{25\sqrt{3} + 48}{39}.$$

Ответ: $-\frac{25\sqrt{3} + 48}{39}$.

б) $\tg\left(a — \frac{5\pi}{4}\right) = \tg\left(\left(a — \frac{5\pi}{4}\right) + \pi\right) = \tg\left(a — \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tg a — \tg \frac{\pi}{4}}{1 + \tg a \cdot \tg \frac{\pi}{4}} =$

$$= \frac{\frac{4}{3} — 1}{1 + \frac{4}{3} \cdot 1} = \frac{\left(\frac{4}{3} — \frac{3}{3}\right)}{\left(\frac{3}{3} + \frac{4}{3}\right)} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{7}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{7} = \frac{1}{7}.$$

Ответ: $\frac{1}{7}$.

Дано:

$$\cos a = \frac{3}{5}, \quad 0 < a < \frac{\pi}{2}$$

1. Определение четверти и знаков

Так как $0 < a < \frac{\pi}{2}$, точка $a$ находится в первой четверти.
В этой четверти все тригонометрические функции положительны.

2. Найдём $\sin a$ по основному тригонометрическому тождеству:

$$\sin^2 a + \cos^2 a = 1 \Rightarrow \sin^2 a = 1 — \cos^2 a$$ $$\cos^2 a = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25} \Rightarrow \sin^2 a = 1 — \frac{9}{25} = \frac{25 — 9}{25} = \frac{16}{25}$$ $$\sin a = +\sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \quad (\text{знак плюс, т.к. } a \text{ в первой четверти})$$

3. Найдём $\tg a$:

$$\tg a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{3} = \frac{4}{3}$$

а) Вычислить

$$\tg\left(a + \frac{\pi}{3}\right)$$

4. Формула суммы тангенсов:

$$\tg(x + y) = \frac{\tg x + \tg y}{1 — \tg x \cdot \tg y}$$

Пусть $x = a$, $y = \frac{\pi}{3}$. Известно:

• $\tg a = \frac{4}{3}$
• $\tg \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$

5. Подставим в формулу:

$$\tg\left(a + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\frac{4}{3} + \sqrt{3}}{1 — \frac{4}{3} \cdot \sqrt{3}}$$

6. Приводим числитель и знаменатель к общему знаменателю 3:

Числитель:

$$\frac{4}{3} + \sqrt{3} = \frac{4}{3} + \frac{3\sqrt{3}}{3} = \frac{4 + 3\sqrt{3}}{3}$$

Знаменатель:

$$1 — \frac{4}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{3}{3} — \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{3 — 4\sqrt{3}}{3}$$

7. Делим дроби:

$$\frac{4 + 3\sqrt{3}}{3} : \frac{3 — 4\sqrt{3}}{3} = \frac{4 + 3\sqrt{3}}{3 — 4\sqrt{3}}$$

8. Рационализируем знаменатель:

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $3 + 4\sqrt{3}$:

$$\frac{4 + 3\sqrt{3}}{3 — 4\sqrt{3}} \cdot \frac{3 + 4\sqrt{3}}{3 + 4\sqrt{3}} = \frac{(4 + 3\sqrt{3})(3 + 4\sqrt{3})}{(3 — 4\sqrt{3})(3 + 4\sqrt{3})}$$

9. Раскроем скобки:

Числитель:

$$(4 + 3\sqrt{3})(3 + 4\sqrt{3}) = 4 \cdot 3 + 4 \cdot 4\sqrt{3} + 3\sqrt{3} \cdot 3 + 3\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3}$$ $$= 12 + 16\sqrt{3} + 9\sqrt{3} + 36 = 48 + 25\sqrt{3}$$

Знаменатель (по формуле разности квадратов):

$$(3 — 4\sqrt{3})(3 + 4\sqrt{3}) = 3^2 — (4\sqrt{3})^2 = 9 — 48 = -39$$

10. Итог:

$$\tg\left(a + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{48 + 25\sqrt{3}}{-39} = -\frac{25\sqrt{3} + 48}{39}$$

Ответ:

$$\boxed{-\frac{25\sqrt{3} + 48}{39}}$$

б) Вычислить

$$\tg\left(a — \frac{5\pi}{4}\right)$$

11. Преобразуем аргумент:

$$\tg\left(a — \frac{5\pi}{4}\right) = \tg\left(\left(a — \frac{5\pi}{4}\right) + \pi\right) = \tg\left(a — \frac{\pi}{4}\right)$$

(так как $\tg(x + \pi) = \tg x$)

12. Формула разности:

$$\tg(x — y) = \frac{\tg x — \tg y}{1 + \tg x \cdot \tg y}$$

Пусть $x = a$, $y = \frac{\pi}{4}$, тогда:

• $\tg a = \frac{4}{3}$
• $\tg \frac{\pi}{4} = 1$

13. Подставим в формулу:

$$\tg\left(a — \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\frac{4}{3} — 1}{1 + \frac{4}{3} \cdot 1} = \frac{\frac{4 — 3}{3}}{1 + \frac{4}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{7}{3}}$$

14. Делим дроби:

$$\frac{1}{3} : \frac{7}{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{7} = \frac{1}{7}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{1}{7}}$$