ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 25.17 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\frac{\operatorname{tg} x + \operatorname{tg} 3x}{1 — \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{tg} 3x} = 1$;

б) $\frac{\operatorname{tg} 5x — \operatorname{tg} 3x}{1 + \operatorname{tg} 3x \cdot \operatorname{tg} 5x} = \sqrt{3}$

а) $\frac{\operatorname{tg} x + \operatorname{tg} 3x}{1 — \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{tg} 3x} = 1$;

$$\operatorname{tg}(x + 3x) = 1;$$ $$\operatorname{tg} 4x = 1;$$ $$4x = \operatorname{arctg} 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{4} \left( \frac{\pi}{4} + \pi n \right) = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4};$$

Ответ: $\frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}$.

б) $\frac{\operatorname{tg} 5x — \operatorname{tg} 3x}{1 + \operatorname{tg} 3x \cdot \operatorname{tg} 5x} = \sqrt{3}$;

$$\operatorname{tg}(5x — 3x) = \sqrt{3};$$ $$\operatorname{tg} 2x = \sqrt{3};$$ $$2x = \operatorname{arctg} \sqrt{3} + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{3} + \pi n \right) = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2};$$

Ответ: $\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$.

а) Решить:

$$\frac{\operatorname{tg} x + \operatorname{tg} 3x}{1 — \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{tg} 3x} = 1$$

Шаг 1. Узнаём, что это формула суммы тангенсов:

$$\frac{\operatorname{tg} x + \operatorname{tg} 3x}{1 — \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{tg} 3x} = \operatorname{tg}(x + 3x) = \operatorname{tg}(4x)$$

Шаг 2. Перепишем уравнение:

$$\operatorname{tg}(4x) = 1$$

Шаг 3. Найдём общее решение уравнения:

$$\operatorname{tg} \theta = 1 \Rightarrow \theta = \operatorname{arctg}(1) + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$

Применим к нашему случаю: $\theta = 4x$

$$4x = \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Шаг 4. Выразим $x$:

$$x = \frac{1}{4} \left( \frac{\pi}{4} + \pi n \right) = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}$$

Ответ:

$$\boxed{x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}},\quad n \in \mathbb{Z}$$

б) Решить:

$$\frac{\operatorname{tg} 5x — \operatorname{tg} 3x}{1 + \operatorname{tg} 3x \cdot \operatorname{tg} 5x} = \sqrt{3}$$

Шаг 1. Узнаём, что это формула разности тангенсов:

$$\frac{\operatorname{tg} A — \operatorname{tg} B}{1 + \operatorname{tg} A \cdot \operatorname{tg} B} = \operatorname{tg}(A — B)$$

В нашем случае:

$$\frac{\operatorname{tg} 5x — \operatorname{tg} 3x}{1 + \operatorname{tg} 3x \cdot \operatorname{tg} 5x} = \operatorname{tg}(5x — 3x) = \operatorname{tg}(2x)$$

Шаг 2. Перепишем уравнение:

$$\operatorname{tg}(2x) = \sqrt{3}$$

Шаг 3. Найдём общее решение:

$$\operatorname{tg} \theta = \sqrt{3} \Rightarrow \theta = \operatorname{arctg}(\sqrt{3}) + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$

Применим к нашему случаю: $\theta = 2x$

$$2x = \frac{\pi}{3} + \pi n$$

Шаг 4. Выразим $x$:

$$x = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{3} + \pi n \right) = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ:

$$\boxed{x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}},\quad n \in \mathbb{Z}$$