ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 25.19 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) $\frac{\mathrm{tg}\frac{\pi }{5}+\mathrm{tg}x}{1-\mathrm{tg}\frac{\pi }{5}\cdot \mathrm{tg}x}<1;$

б) $\frac{\mathrm{tg}3x-1}{\mathrm{tg}3x+1}>1$

а) $\frac{\operatorname{tg} \frac{\pi}{5} + \operatorname{tg} x}{1 — \operatorname{tg} \frac{\pi}{5} \cdot \operatorname{tg} x} < 1;$

$$\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{5} + x\right) < 1;$$

Равенство выполняется при:

$$\frac{\pi}{5} + x = \operatorname{arctg} 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Функция возрастает на $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$, значит:

$$-\frac{\pi}{2} + \pi n < \frac{\pi}{5} + x < \frac{\pi}{4} + \pi n;$$ $$-\frac{7\pi}{10} + \pi n < x < \frac{\pi}{20} + \pi n;$$

б) $\frac{\operatorname{tg} 3x — 1}{\operatorname{tg} 3x + 1} > 1;$

$$\frac{\operatorname{tg} 3x — \operatorname{tg} \frac{\pi}{4}}{\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} \cdot \operatorname{tg} 3x + 1} > 1;$$ $$\operatorname{tg}\left(3x — \frac{\pi}{4}\right) > 1;$$

Равенство выполняется при:

$$3x — \frac{\pi}{4} = \operatorname{arctg} 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Функция возрастает на $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$, значит:

$$\frac{\pi}{4} + \pi n < 3x — \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$\frac{\pi}{2} + \pi n < 3x < \frac{3\pi}{4} + \pi n;$$ $$\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3} < x < \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{3};$$

а)

Условие:

$$\frac{\operatorname{tg} \frac{\pi}{5} + \operatorname{tg} x}{1 — \operatorname{tg} \frac{\pi}{5} \cdot \operatorname{tg} x} < 1$$

Шаг 1. Узнаем формулу

Это выражение соответствует формуле суммы тангенсов:

$$\tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 — \tan a \cdot \tan b}$$

Тогда:

$$\frac{\tan\left(\frac{\pi}{5}\right) + \tan x}{1 — \tan\left(\frac{\pi}{5}\right) \cdot \tan x} = \tan\left(\frac{\pi}{5} + x\right)$$

Шаг 2. Подставим это в неравенство

$$\tan\left(\frac{\pi}{5} + x\right) < 1$$

Шаг 3. Решим неравенство

Решаем:

$$\tan\left(\frac{\pi}{5} + x\right) < 1$$

Шаг 3.1. Где тангенс равен 1?

$$\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$$

Следовательно:

$$\tan\left(\frac{\pi}{5} + x\right) < \tan\left(\frac{\pi}{4}\right)$$

Шаг 3.2. Учитываем монотонность тангенса

Функция $\tan z$ возрастает на интервале $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$, то есть:

Если $a < b$, то $\tan a < \tan b$ на этом интервале.

Чтобы использовать это, нужно убедиться, что угол $\frac{\pi}{5} + x$ лежит внутри одного периода тангенса — т.е. внутри промежутка, где функция непрерывна и монотонна.

Шаг 4. Формулируем строгое неравенство

На интервале:

$$\left(-\frac{\pi}{2} + \pi n,\ \frac{\pi}{2} + \pi n\right)$$

для каждого $n$ выполняется:

$$\tan\left(\frac{\pi}{5} + x\right) < 1 \iff \frac{\pi}{5} + x < \frac{\pi}{4} + \pi n$$

одновременно с:

$$\frac{\pi}{5} + x > -\frac{\pi}{2} + \pi n$$

Шаг 5. Выразим $x$

Нижняя граница:

$$-\frac{\pi}{2} + \pi n < \frac{\pi}{5} + x \Rightarrow x > -\frac{\pi}{2} + \pi n — \frac{\pi}{5} = -\frac{7\pi}{10} + \pi n$$

Верхняя граница:

$$\frac{\pi}{5} + x < \frac{\pi}{4} + \pi n \Rightarrow x < \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{5} + \pi n = \frac{\pi}{20} + \pi n$$

Ответ на пункт а):

$$\boxed{-\frac{7\pi}{10} + \pi n < x < \frac{\pi}{20} + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}}$$

б)

Условие:

$$\frac{\operatorname{tg} 3x — 1}{\operatorname{tg} 3x + 1} > 1$$

Шаг 1. Узнаем формулу

Это выражение тоже похоже на разность тангенсов:

$$\frac{\tan A — \tan B}{1 + \tan A \cdot \tan B} = \tan(A — B)$$

Возьмём:

• $\tan A = \tan 3x$
• $\tan B = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$

Значит:

$$\frac{\tan 3x — 1}{1 + \tan 3x \cdot 1} = \tan(3x — \frac{\pi}{4})$$

Итак:

$$\frac{\tan 3x — 1}{\tan 3x + 1} = \tan\left(3x — \frac{\pi}{4}\right)$$

Шаг 2. Подставим в неравенство

$$\tan\left(3x — \frac{\pi}{4}\right) > 1$$

Шаг 3. Вспомним значение

$$\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$$

Следовательно, решаем:

$$\tan\left(3x — \frac{\pi}{4}\right) > \tan\left(\frac{\pi}{4}\right)$$

Шаг 4. Учитываем монотонность

На интервале $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$, функция $\tan z$ возрастает. Значит:

$$\tan z > \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) \iff z > \frac{\pi}{4}$$

(при условии, что $z \in \left(-\frac{\pi}{2} + \pi n,\ \frac{\pi}{2} + \pi n\right)$)

Шаг 5. Применим это к нашему выражению

Мы хотим:

$$\tan\left(3x — \frac{\pi}{4}\right) > 1$$

Значит:

$$3x — \frac{\pi}{4} > \frac{\pi}{4} + \pi n \quad \text{и одновременно} \quad 3x — \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Шаг 6. Выразим $x$

Левая граница:

$$3x — \frac{\pi}{4} > \frac{\pi}{4} + \pi n \Rightarrow 3x > \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x > \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$$

Правая граница:

$$3x — \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow 3x < \frac{3\pi}{4} + \pi n \Rightarrow x < \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{3}$$

Ответ на пункт б):

$$\boxed{\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3} < x < \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{3},\quad n \in \mathbb{Z}}$$

Итоговые ответы:

а)

$$\boxed{-\frac{7\pi}{10} + \pi n < x < \frac{\pi}{20} + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}}$$

б)

$$\boxed{{\displaystyle \frac{\pi }{6}+\frac{\pi n}{3}<x<\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{3},n\in \mathbb{Z}}}$$