ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 25.2 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $\frac{\mathrm{tg}{25}^{\circ }+\mathrm{tg}{20}^{\circ }}{1-\mathrm{tg}{25}^{\circ }\cdot \mathrm{tg}{20}^{\circ }}$

б) $\frac{1-\mathrm{tg}{70}^{\circ }\cdot \mathrm{tg}{65}^{\circ }}{\mathrm{tg}{70}^{\circ }+\mathrm{tg}{65}^{\circ }}$

в) $\frac{\mathrm{tg}{9}^{\circ }+\mathrm{tg}{51}^{\circ }}{1-\mathrm{tg}{9}^{\circ }\cdot \mathrm{tg}{51}^{\circ }}$

г) $\frac{1+\mathrm{tg}{54}^{\circ }\cdot \mathrm{tg}{9}^{\circ }}{\mathrm{tg}{54}^{\circ }-\mathrm{tg}{9}^{\circ }}$

а) $\frac{\operatorname{tg} 25^{\circ} + \operatorname{tg} 20^{\circ}}{1 — \operatorname{tg} 25^{\circ} \cdot \operatorname{tg} 20^{\circ}} = \operatorname{tg}(25^{\circ} + 20^{\circ}) = \operatorname{tg} 45^{\circ} = 1$;

Ответ: 1.

б) $\frac{1 — \operatorname{tg} 70^{\circ} \cdot \operatorname{tg} 65^{\circ}}{\operatorname{tg} 70^{\circ} + \operatorname{tg} 65^{\circ}} = \frac{1}{\operatorname{tg}(70^{\circ} + 65^{\circ})} = \frac{1}{\operatorname{tg} 135^{\circ}} = \operatorname{ctg} 135^{\circ} = -1$;

Ответ: –1.

в) $\frac{\operatorname{tg} 9^{\circ} + \operatorname{tg} 51^{\circ}}{1 — \operatorname{tg} 9^{\circ} \cdot \operatorname{tg} 51^{\circ}} = \operatorname{tg}(9^{\circ} + 51^{\circ}) = \operatorname{tg} 60^{\circ} = \sqrt{3}$;

Ответ: $\sqrt{3}$.

г) $\frac{1 + \operatorname{tg} 54^{\circ} \cdot \operatorname{tg} 9^{\circ}}{\operatorname{tg} 54^{\circ} — \operatorname{tg} 9^{\circ}} = \frac{1}{\operatorname{tg}(54^{\circ} — 9^{\circ})} = \frac{1}{\operatorname{tg} 45^{\circ}} = \operatorname{ctg} 45^{\circ} = 1$;

Ответ: 1.

а) $\frac{\operatorname{tg} 25^{\circ} + \operatorname{tg} 20^{\circ}}{1 — \operatorname{tg} 25^{\circ} \cdot \operatorname{tg} 20^{\circ}} = \operatorname{tg}(25^{\circ} + 20^{\circ}) = \operatorname{tg} 45^{\circ} = 1$

Решение:

Используем формулу для суммы тангенсов:

$$\operatorname{tg}(A + B) = \frac{\operatorname{tg} A + \operatorname{tg} B}{1 — \operatorname{tg} A \cdot \operatorname{tg} B}$$

В данном случае $A = 25^\circ$ и $B = 20^\circ$. Подставим эти значения в формулу:

$$\operatorname{tg}(25^{\circ} + 20^{\circ}) = \frac{\operatorname{tg} 25^{\circ} + \operatorname{tg} 20^{\circ}}{1 — \operatorname{tg} 25^{\circ} \cdot \operatorname{tg} 20^{\circ}}$$

Точно по формуле у нас уже есть левая часть равенства:

$$\frac{\operatorname{tg} 25^{\circ} + \operatorname{tg} 20^{\circ}}{1 — \operatorname{tg} 25^{\circ} \cdot \operatorname{tg} 20^{\circ}} = \operatorname{tg} 45^{\circ}$$

Известно, что $\operatorname{tg} 45^{\circ} = 1$. Поэтому:

$$\operatorname{tg} 45^{\circ} = 1$$

Ответ: 1.

б) $\frac{1 — \operatorname{tg} 70^{\circ} \cdot \operatorname{tg} 65^{\circ}}{\operatorname{tg} 70^{\circ} + \operatorname{tg} 65^{\circ}} = \frac{1}{\operatorname{tg}(70^{\circ} + 65^{\circ})} = \frac{1}{\operatorname{tg} 135^{\circ}} = \operatorname{ctg} 135^{\circ} = -1$

Решение:

Используем формулу для тангенса суммы углов:

$$\operatorname{tg}(A + B) = \frac{\operatorname{tg} A + \operatorname{tg} B}{1 — \operatorname{tg} A \cdot \operatorname{tg} B}$$

Для данного выражения $A = 70^\circ$ и $B = 65^\circ$. Подставляем эти значения в формулу:

$$\operatorname{tg}(70^{\circ} + 65^{\circ}) = \frac{\operatorname{tg} 70^{\circ} + \operatorname{tg} 65^{\circ}}{1 — \operatorname{tg} 70^{\circ} \cdot \operatorname{tg} 65^{\circ}}$$

Теперь выражение можно переписать так:

$$\frac{1 — \operatorname{tg} 70^{\circ} \cdot \operatorname{tg} 65^{\circ}}{\operatorname{tg} 70^{\circ} + \operatorname{tg} 65^{\circ}} = \frac{1}{\operatorname{tg}(70^{\circ} + 65^{\circ})}$$

Здесь видно, что мы имеем обратное выражение для тангенса угла $135^{\circ}$. Далее, используя известное значение:

$$\operatorname{tg} 135^{\circ} = -1$$

Получаем:

$$\frac{1}{\operatorname{tg} 135^{\circ}} = \operatorname{ctg} 135^{\circ} = -1$$

Ответ: $-1$.

в) $\frac{\operatorname{tg} 9^{\circ} + \operatorname{tg} 51^{\circ}}{1 — \operatorname{tg} 9^{\circ} \cdot \operatorname{tg} 51^{\circ}} = \operatorname{tg}(9^{\circ} + 51^{\circ}) = \operatorname{tg} 60^{\circ} = \sqrt{3}$

Решение:

Для этого выражения также используем формулу для тангенса суммы углов:

$$\operatorname{tg}(A + B) = \frac{\operatorname{tg} A + \operatorname{tg} B}{1 — \operatorname{tg} A \cdot \operatorname{tg} B}$$

В данном случае $A = 9^\circ$ и $B = 51^\circ$. Подставляем эти значения в формулу:

$$\operatorname{tg}(9^{\circ} + 51^{\circ}) = \frac{\operatorname{tg} 9^{\circ} + \operatorname{tg} 51^{\circ}}{1 — \operatorname{tg} 9^{\circ} \cdot \operatorname{tg} 51^{\circ}}$$

Это выражение уже совпадает с данным в задаче. Таким образом, мы можем записать:

$$\operatorname{tg}(9^{\circ} + 51^{\circ}) = \operatorname{tg} 60^{\circ}$$

Известно, что:

$$\operatorname{tg} 60^{\circ} = \sqrt{3}$$

Ответ: $\sqrt{3}$.

г) $\frac{1 + \operatorname{tg} 54^{\circ} \cdot \operatorname{tg} 9^{\circ}}{\operatorname{tg} 54^{\circ} — \operatorname{tg} 9^{\circ}} = \frac{1}{\operatorname{tg}(54^{\circ} — 9^{\circ})} = \frac{1}{\operatorname{tg} 45^{\circ}} = \operatorname{ctg} 45^{\circ} = 1$

Решение:

Для данной задачи используем формулу для тангенса разности углов:

$$\operatorname{tg}(A — B) = \frac{\operatorname{tg} A — \operatorname{tg} B}{1 + \operatorname{tg} A \cdot \operatorname{tg} B}$$

В данном случае $A = 54^\circ$ и $B = 9^\circ$. Подставляем эти значения в формулу:

$$\operatorname{tg}(54^{\circ} — 9^{\circ}) = \frac{\operatorname{tg} 54^{\circ} — \operatorname{tg} 9^{\circ}}{1 + \operatorname{tg} 54^{\circ} \cdot \operatorname{tg} 9^{\circ}}$$

Теперь видим, что наш числитель и знаменатель совпадают с выражением в задаче. Мы можем записать:

$$\frac{1 + \operatorname{tg} 54^{\circ} \cdot \operatorname{tg} 9^{\circ}}{\operatorname{tg} 54^{\circ} — \operatorname{tg} 9^{\circ}} = \frac{1}{\operatorname{tg}(54^{\circ} — 9^{\circ})}$$

Значение $\operatorname{tg} 45^{\circ} = 1$, и поэтому:

$$\frac{1}{\operatorname{tg} 45^{\circ}} = \operatorname{ctg} 45^{\circ} = 1$$

Ответ: 1.