ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 25.20 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

а)

$$\{\begin{array}{l}\mathrm{tg}(x+y)=-3\\ 2\mathrm{tg}x-\mathrm{tg}y=0\end{array}$$

б)

$$\{\begin{array}{l}\mathrm{tg}(x-y)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ 2\mathrm{tg}x+\mathrm{tg}y=5\end{array}$$

а)

$$\begin{cases} \tg(x+y) = -3 \\ 2\tg x — \tg y = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \dfrac{\tg x + \tg y}{1 — \tg x \cdot \tg y} = -3; \\ \tg y = 2\tg x \end{cases};$$

Пусть $\tg x = a$ и $\tg y = b$, тогда:

$$\begin{cases} \dfrac{a + b}{1 — a \cdot b} = -3 & \Rightarrow \dfrac{a + 2a}{1 — a \cdot 2a} = -3; \\ b = 2a \end{cases}$$ $$\dfrac{3a}{1 — 2a^2} = -3;$$ $$\dfrac{a}{1 — 2a^2} = -1;$$ $$a = 2a^2 — 1;$$ $$2a^2 — a — 1 = 0;$$

$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$, тогда:

$$a_1 = \dfrac{1 — 3}{2 \cdot 2} = \dfrac{-2}{4} = -\dfrac{1}{2}, \quad a_2 = \dfrac{1 + 3}{2 \cdot 2} = \dfrac{4}{4} = 1;$$ $$b_1 = 2 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -1, \quad b_2 = 2 \cdot 1 = 2;$$

Первая пара значений:

$$\tg x = -\dfrac{1}{2};$$ $$x = -\arctg \dfrac{1}{2} + \pi n;$$ $$\tg y = -1;$$ $$y = -\arctg 1 + \pi k = -\dfrac{\pi}{4} + \pi k;$$

Вторая пара значений:

$$\tg x = 1;$$ $$x = \arctg 1 + \pi n = \dfrac{\pi}{4} + \pi n;$$ $$\tg y = 2;$$ $$y = \arctg 2 + \pi k;$$

Ответ:

$$\left(-\arctg \dfrac{1}{2} + \pi n;\ -\dfrac{\pi}{4} + \pi k\right);\quad \left(\dfrac{\pi}{4} + \pi n;\ \arctg 2 + \pi k\right)$$

б)

$$\begin{cases} \tg(x — y) = -\dfrac{1}{2} \\ 2\tg x + \tg y = 5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \dfrac{\tg x — \tg y}{1 + \tg x \cdot \tg y} = -\dfrac{1}{2}; \\ \tg y = 5 — 2\tg x \end{cases};$$

Пусть $\tg x = a$, $\tg y = b$, тогда:

$$\begin{cases} \dfrac{a — b}{1 + ab} = -\dfrac{1}{2} & \Rightarrow \dfrac{a — (5 — 2a)}{1 + a(5 — 2a)} = -\dfrac{1}{2}; \\ b = 5 — 2a \end{cases}$$ $$\dfrac{3a — 5}{1 + 5a — 2a^2} = -\dfrac{1}{2};$$ $$2(3a — 5) = -(1 + 5a — 2a^2);$$ $$6a — 10 = 2a^2 — 5a — 1;$$ $$2a^2 — 11a + 9 = 0;$$

$D = 11^2 — 4 \cdot 2 \cdot 9 = 121 — 72 = 49$, тогда:

$$a_1 = \dfrac{11 — 7}{2 \cdot 2} = \dfrac{4}{4} = 1, \quad a_2 = \dfrac{11 + 7}{2 \cdot 2} = \dfrac{18}{4} = 4{,}5;$$ $$b_1 = 5 — 2 \cdot 1 = 3, \quad b_2 = 5 — 2 \cdot 4{,}5 = -4;$$

Первая пара значений:

$$\tg x = 1;$$ $$x = \arctg 1 + \pi n = \dfrac{\pi}{4} + \pi n;$$ $$\tg y = 3;$$ $$y = \arctg 3 + \pi k;$$

Вторая пара значений:

$$\tg x = 4{,}5;$$ $$x = \arctg 4{,}5 + \pi n;$$ $$\tg y = -4;$$ $$y = -\arctg 4 + \pi k;$$

Ответ:

$$\left(\dfrac{\pi}{4} + \pi n;\ \arctg 3 + \pi k\right);\quad \left(\arctg 4{,}5 + \pi n;\ -\arctg 4 + \pi k\right)$$

а)

Система:

$$\begin{cases} \tg(x + y) = -3 \\ 2 \tg x — \tg y = 0 \end{cases}$$

Шаг 1: Используем формулу суммы тангенсов

Формула:

$$\tg(A + B) = \dfrac{\tg A + \tg B}{1 — \tg A \cdot \tg B}$$

Применим к $\tg(x + y)$:

$$\tg(x + y) = \dfrac{\tg x + \tg y}{1 — \tg x \cdot \tg y}$$

С учётом второго уравнения:

$$2 \tg x — \tg y = 0 \Rightarrow \tg y = 2 \tg x$$

Шаг 2: Обозначим

Пусть:

• $\tg x = a$
• $\tg y = b$

Из второго уравнения:

$$b = 2a$$

Первое уравнение становится:

$$\dfrac{a + b}{1 — ab} = -3$$

Подставим $b = 2a$:

$$\dfrac{a + 2a}{1 — a \cdot 2a} = -3 \Rightarrow \dfrac{3a}{1 — 2a^2} = -3$$

Шаг 3: Упростим уравнение

$$\dfrac{3a}{1 — 2a^2} = -3$$

Разделим обе части на 3:

$$\dfrac{a}{1 — 2a^2} = -1$$

Умножим обе части на знаменатель:

$$a = -\left(1 — 2a^2\right) \Rightarrow a = -1 + 2a^2 \Rightarrow 2a^2 — a — 1 = 0$$

Шаг 4: Решим квадратное уравнение

$$2a^2 — a — 1 = 0$$

Дискриминант:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$$

Корни:

$$a_{1,2} = \dfrac{1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \dfrac{1 \pm 3}{4} \Rightarrow a_1 = -\dfrac{1}{2}, \quad a_2 = 1$$

Подставим в $b = 2a$:

$$\begin{cases} a = -\dfrac{1}{2} \Rightarrow b = -1 \\ a = 1 \Rightarrow b = 2 \end{cases}$$

Шаг 5: Найдём значения $x$ и $y$

Первая пара:

$$\tg x = -\dfrac{1}{2} \Rightarrow x = -\arctg\left(\dfrac{1}{2}\right) + \pi n$$ $$\tg y = -1 \Rightarrow y = -\arctg(1) + \pi k = -\dfrac{\pi}{4} + \pi k$$

Вторая пара:

$$\tg x = 1 \Rightarrow x = \arctg(1) + \pi n = \dfrac{\pi}{4} + \pi n$$ $$\tg y = 2 \Rightarrow y = \arctg(2) + \pi k$$

Ответ к пункту а):

$$\boxed{ \left(-\arctg\left(\dfrac{1}{2}\right) + \pi n;\ -\dfrac{\pi}{4} + \pi k\right);\quad \left(\dfrac{\pi}{4} + \pi n;\ \arctg(2) + \pi k\right) }$$

б)

Система:

$$\begin{cases} \tg(x — y) = -\dfrac{1}{2} \\ 2 \tg x + \tg y = 5 \end{cases}$$

Шаг 1: Формула разности тангенсов

$$\tg(x — y) = \dfrac{\tg x — \tg y}{1 + \tg x \cdot \tg y}$$

Пусть:

• $\tg x = a$
• $\tg y = b$

Из второго уравнения:

$$2a + b = 5 \Rightarrow b = 5 — 2a$$

Шаг 2: Подставим в первое уравнение

$$\dfrac{a — b}{1 + ab} = -\dfrac{1}{2}$$

Подставим $b = 5 — 2a$:

$$\dfrac{a — (5 — 2a)}{1 + a(5 — 2a)} = -\dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{3a — 5}{1 + 5a — 2a^2} = -\dfrac{1}{2}$$

Шаг 3: Переносим и упрощаем

Умножим обе части на знаменатель:

$$2(3a — 5) = -(1 + 5a — 2a^2) \Rightarrow 6a — 10 = -1 — 5a + 2a^2$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$6a — 10 + 1 + 5a — 2a^2 = 0 \Rightarrow 11a — 9 — 2a^2 = 0 \Rightarrow 2a^2 — 11a + 9 = 0$$

Шаг 4: Решим квадратное уравнение

$$2a^2 — 11a + 9 = 0$$

Дискриминант:

$$D = (-11)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 9 = 121 — 72 = 49$$

Корни:

$$a_1 = \dfrac{11 — 7}{4} = 1, \quad a_2 = \dfrac{11 + 7}{4} = \dfrac{18}{4} = 4{,}5$$

Теперь $b = 5 — 2a$:

• При $a = 1 \Rightarrow b = 3$
• При $a = 4{,}5 \Rightarrow b = -4$

Шаг 5: Найдём значения $x$ и $y$

Первая пара:

$$\tg x = 1 \Rightarrow x = \arctg(1) + \pi n = \dfrac{\pi}{4} + \pi n$$ $$\tg y = 3 \Rightarrow y = \arctg(3) + \pi k$$

Вторая пара:

$$\tg x = 4{,}5 \Rightarrow x = \arctg(4{,}5) + \pi n$$ $$\tg y = -4 \Rightarrow y = -\arctg(4) + \pi k$$

Ответ к пункту б):

$$\boxed{ \left(\dfrac{\pi}{4} + \pi n;\ \arctg(3) + \pi k\right);\quad \left(\arctg(4{,}5) + \pi n;\ -\arctg(4) + \pi k\right) }$$