ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 25.21 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите $\beta$, если известно, что $\mathrm{tg}(\alpha +\beta )=-3$, $\mathrm{tg}(\alpha -\beta )=\frac{1}{3}$ и $\frac{\pi }{2}<\beta <\mathrm{\pi .}$

Известно, что $\mathrm{tg}(a+\beta )=-3$ и $\mathrm{tg}(a-\beta )=\frac{1}{3}$ и $\frac{\pi }{2}<\beta <\pi$;

Тангенсы суммы и разности аргументов:

$$\mathrm{tg}(a+\beta )=\frac{\mathrm{tg}a+\mathrm{tg}\beta }{1-\mathrm{tg}a\cdot \mathrm{tg}\beta }=-3;$$$$\mathrm{tg}(a-\beta )=\frac{\mathrm{tg}a-\mathrm{tg}\beta }{1+\mathrm{tg}a\cdot \mathrm{tg}\beta }=\frac{1}{3};$$

Пусть $a=\mathrm{tg}a$ и $b=\mathrm{tg}\beta$, тогда:

$$\{\begin{array}{l}\frac{a+b}{1-ab}=-3\\ \frac{a-b}{1+ab}=\frac{1}{3}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a+b=-3(1-ab)\\ 3(a-b)=1+ab\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a+b=3ab-3\\ 3a-3b=1+ab\end{array}$$

Выразим переменную $a$ из второго уравнения:

$$3a-3b=1+ab;$$$$3a-ab=1+3b;$$$$a(3-b)=1+3b;$$$$a=\frac{1+3b}{3-b};$$

Подставим это значение в первое уравнение:

$$\frac{\frac{1+3b}{3-b}+b}{1-\frac{1+3b}{3-b}\cdot b}=-3\mathrm{\mid }\cdot (3-b);$$$$\frac{1+3b+b(3-b)}{3-b-b(1+3b)}=-3;$$$$\frac{1+3b+3b-b^2}{3-2b-3b^2}=-3;$$$$\frac{1+6b-b^2}{3-2b-3b^2}=-3;$$$$1+6b-b^2=-3(3-2b-3b^2);$$$$1+6b-b^2=-9+6b+9b^2;$$$$1-b^2=9b^2-9;$$$$10b^2=10;$$$$b^2=1;$$$$b=\pm 1;$$

Точка $\beta$ принадлежит второй четверти, значит:

$$\mathrm{tg}\beta <0;$$$$\mathrm{tg}\beta =-1;$$$$\beta =-\mathrm{arctg}1+\pi n=-\frac{\pi }{4}+\pi n;$$$$\beta =-\frac{\pi }{4}+\pi =\frac{3\pi }{4};$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle \beta =\frac{3\pi }{4}}}$.

Известно, что:

• $\mathrm{tg}(a+\beta )=-3$
• $\mathrm{tg}(a-\beta )={\displaystyle \frac{1}{3}}$
• ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\beta <\pi$

Шаг 1. Формулы суммы и разности тангенсов

Используем стандартные формулы:

$$\mathrm{tg}(A\pm B)=\frac{\mathrm{tg}A\pm \mathrm{tg}B}{1\mp \mathrm{tg}A\cdot \mathrm{tg}B}$$

Подставляем в обе ситуации:

Для $\mathrm{tg}(a+\beta )=-3$:

$$\mathrm{tg}(a+\beta )=\frac{\mathrm{tg}a+\mathrm{tg}\beta }{1-\mathrm{tg}a\cdot \mathrm{tg}\beta }=-3$$

Для $\mathrm{tg}(a-\beta )={\displaystyle \frac{1}{3}}$:

$$\mathrm{tg}(a-\beta )=\frac{\mathrm{tg}a-\mathrm{tg}\beta }{1+\mathrm{tg}a\cdot \mathrm{tg}\beta }=\frac{1}{3}$$

Шаг 2. Ввод обозначений

Пусть:

• $a=\mathrm{tg}a$
• $b=\mathrm{tg}\beta$

Тогда система уравнений становится:

$$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{a+b}{1-ab}}=-3\\ {\displaystyle \frac{a-b}{1+ab}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}$$

Шаг 3. Убираем дроби (приводим к алгебраической системе)

Первое уравнение:

$$\begin{array}{cccc}& \frac{a+b}{1-ab}=-3\Rightarrow a+b=-3(1-ab)\Rightarrow a+b=-3+3ab\Rightarrow a+b=3ab-3& & \text{(1)}\end{array}$$

Второе уравнение:

$$\begin{array}{cccc}& \frac{a-b}{1+ab}=\frac{1}{3}\Rightarrow 3(a-b)=1+ab\Rightarrow 3a-3b=1+ab& & \text{(2)}\end{array}$$

Шаг 4. Выразим $a$ через $b$ из второго уравнения

Уравнение (2):

$$\begin{array}{cccc}& 3a-3b=1+ab\Rightarrow 3a-ab=1+3b\Rightarrow a(3-b)=1+3b\Rightarrow a=\frac{1+3b}{3-b}& & \text{(3)}\end{array}$$

Шаг 5. Подставим (3) в уравнение (1)

Уравнение (1):

$$a+b=3ab-3$$

Подставим $a={\displaystyle \frac{1+3b}{3-b}}$:

Левая часть:

$$a+b=\frac{1+3b}{3-b}+b$$

Правая часть:

$$3ab-3=3\cdot \frac{1+3b}{3-b}\cdot b-3$$

Промежуточное упрощение левой части:

$$\frac{1+3b}{3-b}+b=\frac{1+3b+b(3-b)}{3-b}=\frac{1+3b+3b-b^2}{3-b}=\frac{1+6b-b^2}{3-b}$$

Промежуточное упрощение правой части:

$$3ab-3=3\cdot \frac{1+3b}{3-b}\cdot b-3=\frac{3b(1+3b)}{3-b}-3=\frac{3b+9b^2}{3-b}-3$$

Теперь подставим обе части:

$$\frac{1+6b-b^2}{3-b}=\frac{3b+9b^2}{3-b}-3$$

Умножим обе части на $3-b$, чтобы избавиться от знаменателей:

$$1+6b-b^2=3b+9b^2-3(3-b)$$

Раскроем скобки:

$$1+6b-b^2=3b+9b^2-9+3b\Rightarrow 1+6b-b^2=6b+9b^2-9$$

Переносим всё в одну сторону:

$$(1+6b-b^2)-(6b+9b^2-9)=0\Rightarrow 1+6b-b^2-6b-9b^2+9=0\Rightarrow$$

$$(1+9)+(-b^2-9b^2)=0\Rightarrow 10-10b^2=0\Rightarrow 10b^2=10\Rightarrow b^2=1$$

Шаг 6. Найдём $b=\mathrm{tg}\beta$

$$b=\pm 1$$

Но по условию:

$$\frac{\pi }{2}<\beta <\pi \Rightarrow \beta \text{ — во второй четверти}\Rightarrow \mathrm{tg}\beta <0\Rightarrow \boxed{{\displaystyle b=-1}}$$

Шаг 7. Найдём $\beta$ по значению $\mathrm{tg}\beta =-1$

$$\beta =\mathrm{arctg}(-1)+\pi n=-\frac{\pi }{4}+\pi n$$

Из условия:

$$\frac{\pi }{2}<\beta <\pi \Rightarrow n=1\Rightarrow \beta =-\frac{\pi }{4}+\pi =\frac{3\pi }{4}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \beta =\frac{3\pi }{4}}}$$