ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 25.22 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $\mathrm{tg}(\frac{\pi }{4}+\mathrm{arctg}\frac{2}{7})$

б) $\mathrm{tg}(\frac{3\pi }{4}-\arccos (-\frac{3}{5}))$

в) $\mathrm{tg}(\frac{\pi }{3}-\mathrm{arcctg}\frac{1}{3})$

г) $\mathrm{tg}(\arcsin \frac{4}{5}+\mathrm{arcctg}\frac{3}{4})$

а) $\mathrm{tg}(\frac{\pi }{4}+\mathrm{arctg}\frac{2}{7})=\frac{\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}+\mathrm{tg}(\mathrm{arctg}\frac{2}{7})}{1-\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}\cdot \mathrm{tg}(\mathrm{arctg}\frac{2}{7})}=\frac{1+\frac{2}{7}}{1-1\cdot \frac{2}{7}}=\frac{9}{7}:\frac{5}{7}=\frac{9}{5}=1,8$

Ответ: $1,8$.

б) $\mathrm{tg}(\frac{3\pi }{4}-\arccos (-\frac{3}{5}))=\mathrm{tg}(\frac{3\pi }{4}-t);$

Точка $t$ принадлежит первой или второй четверти:

$$0\le \arccos (-\frac{3}{5})\le \pi ;$$$$\cos t=\cos (\arccos (-\frac{3}{5}))=-\frac{3}{5};$$$$\sin t=+\sqrt{1-{\cos }^{2}t}=\sqrt{1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2}=\sqrt{\frac{25}{25}-\frac{9}{25}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5};$$$$\mathrm{tg}t=\frac{\sin t}{\cos t}=\frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}}=\frac{4}{5}:(-\frac{3}{5})=-\frac{4}{3};$$

Значение функции:

$$\mathrm{tg}(\frac{3\pi }{4}-t)=\frac{\mathrm{tg}\frac{3\pi }{4}-\mathrm{tg}t}{1+\mathrm{tg}\frac{3\pi }{4}\cdot \mathrm{tg}t}=\frac{-1-(-\frac{4}{3})}{1+(-1)\cdot (-\frac{4}{3})}=\frac{-1+\frac{4}{3}}{1+\frac{4}{3}}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{7}{3}}=\frac{1}{7};$$

Ответ: $\frac{1}{7}$.

в) $\mathrm{tg}(\frac{\pi }{3}-\mathrm{arcctg}\frac{1}{3})=\mathrm{tg}(\frac{\pi }{3}-t);$

Найдем значение $\mathrm{tg}t$:

$$\mathrm{tg}t=\mathrm{tg}(\mathrm{arcctg}\frac{1}{3})=\frac{1}{\mathrm{ctg}(\mathrm{arcctg}\frac{1}{3})}=1:\frac{1}{3}=3;$$

Значение функции:

$$\mathrm{tg}(\frac{\pi }{3}-t)=\frac{\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}-\mathrm{tg}t}{1+\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}\cdot \mathrm{tg}t}=\frac{\sqrt{3}-3}{1+\sqrt{3}\cdot 3}=\frac{\sqrt{3}-3}{1+3\sqrt{3}};$$$$\mathrm{tg}(\frac{\pi }{3}-t)=\frac{\sqrt{3}-9+3+9\sqrt{3}}{1-27}=\frac{-12+10\sqrt{3}}{-26}=\frac{6-5\sqrt{3}}{13};$$

Ответ: $\frac{6-5\sqrt{3}}{13}$.

г) $\mathrm{tg}(\arcsin \frac{4}{5}+\mathrm{arcctg}\frac{3}{4})=\mathrm{tg}(a+b);$

Точка $a$ принадлежит первой или четвертой четверти:

$$-\frac{\pi }{2}\le \arcsin \frac{4}{5}\le \frac{\pi }{2};$$$$\sin a=\sin (\arcsin \frac{4}{5})=\frac{4}{5};$$$$\cos a=+\sqrt{1-{\sin }^{2}a}=\sqrt{1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2}=\sqrt{\frac{25}{25}-\frac{16}{25}}=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5};$$$$\mathrm{tg}a=\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}}=\frac{4}{5}:\frac{3}{5}=\frac{4}{3};$$

Найдем значение $\mathrm{tg}b$:

$$\mathrm{tg}b=\mathrm{tg}(\mathrm{arcctg}\frac{3}{4})=\frac{1}{\mathrm{ctg}(\mathrm{arcctg}\frac{3}{4})}=1:\frac{3}{4}=\frac{4}{3};$$

Значение функции:

$$\mathrm{tg}(a+b)=\frac{\mathrm{tg}a+\mathrm{tg}b}{1-\mathrm{tg}a\cdot \mathrm{tg}b}=\frac{\frac{4}{3}+\frac{4}{3}}{1-\frac{4}{3}\cdot \frac{4}{3}}=\frac{\frac{8}{3}}{1-\frac{16}{9}}=\frac{\frac{8}{3}}{\frac{9}{9}-\frac{16}{9}}=\frac{\frac{8}{3}}{-\frac{7}{9}}=\frac{8}{3}\cdot (-\frac{9}{7})=-\frac{24}{7};$$

Ответ: $-3\frac{3}{7}$.

а)

Вычислить:

$$\mathrm{tg}(\frac{\pi }{4}+\mathrm{arctg}\frac{2}{7})$$

Шаг 1: Используем формулу суммы тангенсов

Формула для суммы аргументов функции тангенса:

$$\mathrm{tg}(A+B)=\frac{\mathrm{tg}A+\mathrm{tg}B}{1-\mathrm{tg}A\cdot \mathrm{tg}B}$$

Подставим:

• $A=\frac{\pi }{4}\Rightarrow \mathrm{tg}A=\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}=1$
• $B=\mathrm{arctg}\frac{2}{7}\Rightarrow \mathrm{tg}B=\frac{2}{7}$

Тогда:

$$\mathrm{tg}(\frac{\pi }{4}+\mathrm{arctg}\frac{2}{7})=\frac{1+\frac{2}{7}}{1-1\cdot \frac{2}{7}}=\frac{\frac{9}{7}}{\frac{5}{7}}=\frac{9}{7}\cdot \frac{7}{5}=\frac{9}{5}=\mathrm{1,8}$$

Ответ: $\mathrm{1,8}$

б)

Вычислить:

$$\mathrm{tg}(\frac{3\pi }{4}-\arccos (-\frac{3}{5}))$$

Шаг 1: Пусть $t=\arccos (-\frac{3}{5})\Rightarrow \cos t=-\frac{3}{5}$

Диапазон функции $\arccos \in [0,\pi ]\Rightarrow t$ находится во 2-й четверти.

Шаг 2: Найдём $\sin t$

$$\sin t=\sqrt{1-{\cos }^{2}t}=\sqrt{1-{(-\frac{3}{5})}^2}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}$$

Шаг 3: Найдём $\mathrm{tg}t$

$$\mathrm{tg}t=\frac{\sin t}{\cos t}=\frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}}=-\frac{4}{3}$$

Шаг 4: Используем формулу разности тангенсов

$$\mathrm{tg}(A-B)=\frac{\mathrm{tg}A-\mathrm{tg}B}{1+\mathrm{tg}A\cdot \mathrm{tg}B}$$

Подставим:

• $A=\frac{3\pi }{4}\Rightarrow \mathrm{tg}A=\mathrm{tg}\frac{3\pi }{4}=-1$
• $B=t\Rightarrow \mathrm{tg}B=-\frac{4}{3}$

$$\mathrm{tg}(\frac{3\pi }{4}-t)=\frac{-1-(-\frac{4}{3})}{1+(-1)\cdot (-\frac{4}{3})}=\frac{-1+\frac{4}{3}}{1+\frac{4}{3}}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{7}{3}}=\frac{1}{7}$$

Ответ: $\frac{1}{7}$

в)

Вычислить:

$$\mathrm{tg}(\frac{\pi }{3}-\mathrm{arcctg}\frac{1}{3})$$

Шаг 1: Пусть $t=\mathrm{arcctg}\frac{1}{3}$

Тогда:

$$\mathrm{ctg}t=\frac{1}{3}\Rightarrow \mathrm{tg}t=\frac{1}{\mathrm{ctg}t}=\frac{1}{\frac{1}{3}}=3$$

Шаг 2: Используем формулу разности тангенсов

$$\mathrm{tg}(A-B)=\frac{\mathrm{tg}A-\mathrm{tg}B}{1+\mathrm{tg}A\cdot \mathrm{tg}B}$$

Подставим:

• $A=\frac{\pi }{3}\Rightarrow \mathrm{tg}\frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$
• $B=t\Rightarrow \mathrm{tg}t=3$

$$\mathrm{tg}(\frac{\pi }{3}-t)=\frac{\sqrt{3}-3}{1+\sqrt{3}\cdot 3}=\frac{\sqrt{3}-3}{1+3\sqrt{3}}$$

Шаг 3: Приводим к рациональному виду

Домножим числитель и знаменатель на сопряжённое $1-3\sqrt{3}$:

$$\frac{\sqrt{3}-3}{1+3\sqrt{3}}\cdot \frac{1-3\sqrt{3}}{1-3\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{3}-3)(1-3\sqrt{3})}{(1+3\sqrt{3})(1-3\sqrt{3})}$$

Считаем знаменатель:

$$(1+3\sqrt{3})(1-3\sqrt{3})=1^2-(3\sqrt{3}{)}^2=1-27=-26$$

Числитель:

$$(\sqrt{3}-3)(1-3\sqrt{3})=\sqrt{3}(1-3\sqrt{3})-3(1-3\sqrt{3})=$$

$$=\sqrt{3}-3\cdot 3=\sqrt{3}-9\sqrt{3}-3+9\sqrt{3}$$$$=\sqrt{3}-3\Rightarrow \text{(ошибка в предположении, пересчитаем полностью)}$$

Полный расчет:

$$\sqrt{3}\cdot 1=\sqrt{3},\sqrt{3}\cdot (-3\sqrt{3})=-9,-3\cdot 1=-3,-3\cdot (-3\sqrt{3})=9\sqrt{3}$$$$\Rightarrow \text{Сумма: }\sqrt{3}-9-3+9\sqrt{3}=(-12)+10\sqrt{3}$$

Теперь:

$$\frac{-12+10\sqrt{3}}{-26}=\frac{6-5\sqrt{3}}{13}$$

Ответ: $\frac{6-5\sqrt{3}}{13}$

г)

Вычислить:

$$\mathrm{tg}(\arcsin \frac{4}{5}+\mathrm{arcctg}\frac{3}{4})$$

Шаг 1: Пусть $a=\arcsin \frac{4}{5}$

$$\sin a=\frac{4}{5},\cos a=\sqrt{1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2}=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}\Rightarrow \mathrm{tg}a=\frac{4}{5}:\frac{3}{5}=\frac{4}{3}$$

Шаг 2: Пусть $b=\mathrm{arcctg}\frac{3}{4}\Rightarrow \mathrm{ctg}b=\frac{3}{4}\Rightarrow \mathrm{tg}b=\frac{1}{\frac{3}{4}}=\frac{4}{3}$

Шаг 3: Используем формулу суммы тангенсов

$$\mathrm{tg}(a+b)=\frac{\mathrm{tg}a+\mathrm{tg}b}{1-\mathrm{tg}a\cdot \mathrm{tg}b}=\frac{\frac{4}{3}+\frac{4}{3}}{1-{\left(\frac{4}{3}\right)}^2}$$

Вычислим:

• Числитель: $\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$
• Знаменатель: $1-{\left(\frac{4}{3}\right)}^2=1-\frac{16}{9}=\frac{-7}{9}$

$$\Rightarrow \frac{\frac{8}{3}}{-\frac{7}{9}}=\frac{8}{3}\cdot (-\frac{9}{7})=-\frac{72}{21}=-\frac{24}{7}$$

Ответ: $-3\frac{3}{7}$