ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 25.23 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что прямые $y = 3x + 1$ и $y = 6 — 2x$ пересекаются под углом $45^\circ$.

Доказать, что прямые $y = 3x + 1$ и $y = 6 — 2x$ пересекаются под углом $45^\circ$.

Решение:

1) Учет наклона второй прямой

Учитем, что вторая прямая наклонена влево, так как:

$$-2 < 0$$

2) Определение углов между прямыми и осью абсцисс

Пусть $a$ и $b$ — соответственно острые углы между данными прямыми и положительным направлением оси абсцисс, тогда:

$$\tg a = 3 \quad \Rightarrow \quad a = \arctg 3$$ $$\tg b = -2 \quad \Rightarrow \quad b = 180^\circ — \arctg(-2) = 180^\circ + \arctg 2$$

3) Искомый угол по теореме о сумме углов треугольника

Искомый угол $c$, по теореме о сумме углов треугольника:

$$c = 180^\circ — (a + b)$$ $$c = 180^\circ — (\arctg 3 + 180^\circ + \arctg 2) = -( \arctg 2 + \arctg 3 )$$

4) Нахождение тангенса угла между прямыми

Найдем тангенс угла между прямыми:

$$\tg c = -\tg(\arctg 2 + \arctg 3) = -\frac{\tg(\arctg 2) + \tg(\arctg 3)}{1 — \tg(\arctg 2) \cdot \tg(\arctg 3)}$$ $$\tg c = -\frac{2 + 3}{1 — 2 \cdot 3} = -\frac{5}{1 — 6} = -\frac{5}{-5} = 1$$

5) Значение искомого угла

Значение искомого угла:

$$c = \arctg 1 = \frac{\pi}{4} = \left( \frac{180 \cdot \pi}{\pi} \right)^\circ = \left( \frac{180}{4} \right)^\circ = 45^\circ$$

Что и требовалось доказать

Шаг 1: Обозначим данные

У нас даны две прямые:

• Прямая $L_1: y = 3x + 1$ — с угловым коэффициентом $k_1 = 3$
• Прямая $L_2: y = 6 — 2x$ — это то же самое, что $y = -2x + 6$, т.е. угловой коэффициент $k_2 = -2$

Шаг 2: Понять, что требуется доказать

Нужно доказать, что угол $\theta$ между этими двумя прямыми равен $45^\circ$.
То есть:

$$\theta = 45^\circ = \frac{\pi}{4} \text{ радиан}$$

Шаг 3: Формула угла между двумя прямыми

Угол между двумя пересекающимися прямыми с угловыми коэффициентами $k_1$ и $k_2$ задаётся формулой:

$$\tan \theta = \left| \frac{k_1 — k_2}{1 + k_1 k_2} \right|$$

Это значение всегда берется по модулю и даёт острый угол между прямыми (в пределах от $0^\circ$ до $90^\circ$).

Шаг 4: Подставим значения

У нас:

• $k_1 = 3$
• $k_2 = -2$

Подставим в формулу:

$$\tan \theta = \left| \frac{3 — (-2)}{1 + 3 \cdot (-2)} \right| = \left| \frac{3 + 2}{1 — 6} \right| = \left| \frac{5}{-5} \right| = | -1 | = 1$$

Шаг 5: Найдём сам угол $\theta$

Теперь найдём сам угол по его тангенсу:

$$\tan \theta = 1 \Rightarrow \theta = \arctan 1$$ $$\Rightarrow \theta = \frac{\pi}{4} \text{ радиан } = 45^\circ$$

Вывод:

Прямые $y = 3x + 1$ и $y = 6 — 2x$ пересекаются под углом:

$$\theta = 45^\circ$$

Что и требовалось доказать.

Дополнение: Геометрическая интерпретация

• Прямая $y = 3x + 1$: крутой наклон вверх — угол с положительным направлением оси $x$ острый, $\tan a = 3 \Rightarrow a \approx 71.6^\circ$
• Прямая $y = -2x + 6$: наклон вниз влево — угол со стороной $x$ тупой, $\tan b = -2 \Rightarrow b \approx 116.6^\circ$

Разность между этими направлениями даёт угол между прямыми:

$$116.6^\circ — 71.6^\circ = 45^\circ$$