ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 25.3 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) $\frac{\mathrm{tg}2,22+\mathrm{tg}0,92}{1-\mathrm{tg}2,22\cdot \mathrm{tg}0,92}$

б) $\frac{\mathrm{tg}1,47-\mathrm{tg}0,69}{1+\mathrm{tg}1,47\cdot \mathrm{tg}0,69}$

а) $\frac{\operatorname{tg} 2,22 + \operatorname{tg} 0,92}{1 — \operatorname{tg} 2,22 \cdot \operatorname{tg} 0,92} = \operatorname{tg}(2,22 + 0,92) = \operatorname{tg} 3,14 \approx \operatorname{tg} \pi \approx 0$.

Ответ: $\operatorname{tg} 3,14 \approx 0$.

б) $\frac{\operatorname{tg} 1,47 — \operatorname{tg} 0,69}{1 + \operatorname{tg} 1,47 \cdot \operatorname{tg} 0,69} = \operatorname{tg}(1,47 — 0,69) = \operatorname{tg} 0,78 \approx \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} \approx 1$.

Ответ: $\operatorname{tg} 0,78 \approx 1$.

а) $\frac{\operatorname{tg} 2,22 + \operatorname{tg} 0,92}{1 — \operatorname{tg} 2,22 \cdot \operatorname{tg} 0,92} = \operatorname{tg}(2,22 + 0,92) = \operatorname{tg} 3,14 \approx \operatorname{tg} \pi \approx 0$

Шаг 1: Применяем формулу для тангенса суммы углов

Для выражения, вида

$$\frac{\operatorname{tg} A + \operatorname{tg} B}{1 — \operatorname{tg} A \cdot \operatorname{tg} B},$$

мы используем стандартную тригонометрическую формулу для тангенса суммы углов:

$$\operatorname{tg}(A + B) = \frac{\operatorname{tg} A + \operatorname{tg} B}{1 — \operatorname{tg} A \cdot \operatorname{tg} B}.$$

В нашем случае $A = 2,22$ и $B = 0,92$. Подставляем эти значения в формулу:

$$\frac{\operatorname{tg} 2,22 + \operatorname{tg} 0,92}{1 — \operatorname{tg} 2,22 \cdot \operatorname{tg} 0,92} = \operatorname{tg}(2,22 + 0,92).$$

Шаг 2: Суммируем углы

Теперь мы можем сложить углы:

$$2,22 + 0,92 = 3,14.$$

Таким образом, выражение упрощается до:

$$\operatorname{tg}(3,14).$$

Шаг 3: Приближённое значение

Значение $3,14$ близко к числу $\pi$ (приблизительно 3,14159). Это очень важный момент, поскольку $\operatorname{tg} \pi = 0$.

Так как $3,14$ близко к $\pi$, можем записать:

$$\operatorname{tg}(3,14) \approx \operatorname{tg} \pi = 0.$$

Ответ:

$$\operatorname{tg} 3,14 \approx 0.$$

б) $\frac{\operatorname{tg} 1,47 — \operatorname{tg} 0,69}{1 + \operatorname{tg} 1,47 \cdot \operatorname{tg} 0,69} = \operatorname{tg}(1,47 — 0,69) = \operatorname{tg} 0,78 \approx \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} \approx 1$

Шаг 1: Применяем формулу для тангенса разности углов

Для выражения вида

$$\frac{\operatorname{tg} A — \operatorname{tg} B}{1 + \operatorname{tg} A \cdot \operatorname{tg} B},$$

мы используем стандартную тригонометрическую формулу для тангенса разности углов:

$$\operatorname{tg}(A — B) = \frac{\operatorname{tg} A — \operatorname{tg} B}{1 + \operatorname{tg} A \cdot \operatorname{tg} B}.$$

В нашем случае $A = 1,47$ и $B = 0,69$. Подставляем эти значения в формулу:

$$\frac{\operatorname{tg} 1,47 — \operatorname{tg} 0,69}{1 + \operatorname{tg} 1,47 \cdot \operatorname{tg} 0,69} = \operatorname{tg}(1,47 — 0,69).$$

Шаг 2: Вычитаем углы

Теперь мы можем вычесть углы:

$$1,47 — 0,69 = 0,78.$$

Таким образом, выражение упрощается до:

$$\operatorname{tg}(0,78).$$

Шаг 3: Приближённое значение

Значение $0,78$ близко к $\frac{\pi}{4}$, так как $\frac{\pi}{4} \approx 0,785398$. Мы знаем, что:

$$\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = 1.$$

Так как $0,78$ близко к $\frac{\pi}{4}$, можем записать:

$$\operatorname{tg}(0,78) \approx \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = 1.$$

Ответ:

$$\operatorname{tg} 0,78 \approx 1.$$