ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 25.4 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) $\frac{\mathrm{tg}(\frac{\pi }{8}+a)+\mathrm{tg}(\frac{\pi }{8}-a)}{1-\mathrm{tg}(\frac{\pi }{8}+a)\cdot \mathrm{tg}(\frac{\pi }{8}-a)}$

б) $\frac{\mathrm{tg}({45}^{\circ }+a)-\mathrm{tg}a}{1+\mathrm{tg}({45}^{\circ }+a)\cdot \mathrm{tg}a}$

а) $\frac{\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{8}+a\right)+\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{8}-a\right)}{1-\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{8}+a\right) \cdot \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{8}-a\right)}=\operatorname{tg}\left(\left(\frac{\pi}{8}+a\right)+\left(\frac{\pi}{8}-a\right)\right)=\operatorname{tg} \frac{2 \pi}{8}=\operatorname{tg} \frac{\pi}{4}=1$;

Ответ: 1.

б) $\frac{\operatorname{tg}\left(45^{\circ}+a\right)-\operatorname{tg} a}{1+\operatorname{tg}\left(45^{\circ}+a\right) \cdot \operatorname{tg} a}=\operatorname{tg}\left(\left(45^{\circ}+a\right)-a\right)=\operatorname{tg} 45^{\circ}=1$;

Ответ: 1.

а) $\frac{\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{8}+a\right)+\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{8}-a\right)}{1-\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{8}+a\right) \cdot \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{8}-a\right)} = \operatorname{tg}\left(\left(\frac{\pi}{8}+a\right)+\left(\frac{\pi}{8}-a\right)\right) = \operatorname{tg} \frac{2 \pi}{8} = \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = 1$

Шаг 1: Применяем формулу для тангенса суммы углов

Для выражения вида:

$$\frac{\operatorname{tg} (A + B) + \operatorname{tg} (A — B)}{1 — \operatorname{tg} (A + B) \cdot \operatorname{tg} (A — B)},$$

используется стандартная тригонометрическая формула для тангенса суммы углов:

$$\operatorname{tg}(A + B) = \frac{\operatorname{tg} A + \operatorname{tg} B}{1 — \operatorname{tg} A \cdot \operatorname{tg} B}.$$

В данном случае $A = \frac{\pi}{8}$ и $B = a$. Подставляем эти значения в формулу:

$$\frac{\operatorname{tg} \left( \frac{\pi}{8} + a \right) + \operatorname{tg} \left( \frac{\pi}{8} — a \right)}{1 — \operatorname{tg} \left( \frac{\pi}{8} + a \right) \cdot \operatorname{tg} \left( \frac{\pi}{8} — a \right)} = \operatorname{tg} \left( \left( \frac{\pi}{8} + a \right) + \left( \frac{\pi}{8} — a \right) \right).$$

Шаг 2: Упрощаем аргументы тангенсов

Теперь упрощаем выражение внутри тангенса:

$$\left( \frac{\pi}{8} + a \right) + \left( \frac{\pi}{8} — a \right) = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{8} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}.$$

Таким образом, выражение упрощается до:

$$\operatorname{tg} \left( \frac{\pi}{4} \right).$$

Шаг 3: Значение тангенса

Известно, что:

$$\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = 1.$$

Ответ: 1.

б) $\frac{\operatorname{tg}\left(45^{\circ}+a\right)-\operatorname{tg} a}{1+\operatorname{tg}\left(45^{\circ}+a\right) \cdot \operatorname{tg} a} = \operatorname{tg}\left(\left(45^{\circ}+a\right)-a\right) = \operatorname{tg} 45^{\circ} = 1$

Шаг 1: Применяем формулу для тангенса разности углов

Для выражения вида:

$$\frac{\operatorname{tg}(A + B) — \operatorname{tg} B}{1 + \operatorname{tg}(A + B) \cdot \operatorname{tg} B},$$

мы используем стандартную тригонометрическую формулу для тангенса разности углов:

$$\operatorname{tg}(A — B) = \frac{\operatorname{tg} A — \operatorname{tg} B}{1 + \operatorname{tg} A \cdot \operatorname{tg} B}.$$

В данном случае $A = 45^\circ$ и $B = a$. Подставляем эти значения в формулу:

$$\frac{\operatorname{tg}(45^\circ + a) — \operatorname{tg} a}{1 + \operatorname{tg}(45^\circ + a) \cdot \operatorname{tg} a} = \operatorname{tg}(45^\circ + a — a).$$

Шаг 2: Упрощаем выражение

Теперь упрощаем аргументы тангенса:

$$45^\circ + a — a = 45^\circ.$$

Таким образом, выражение упрощается до:

$$\operatorname{tg}(45^\circ).$$

Шаг 3: Значение тангенса

Известно, что:

$$\operatorname{tg} 45^\circ = 1.$$

Ответ: 1.