ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 25.9 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что значение выражения

$$\frac{\operatorname{tg}(\alpha — \beta) — \operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}(\alpha — \beta)\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}$$

не зависит от значения $\beta$.

Доказать, что значение выражения не зависит от значения $\beta$:

$$\frac{\operatorname{tg}(a — \beta) — \operatorname{tg} a + \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg}(a — \beta) \cdot \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta};$$

Преобразуем числитель дроби:

$$\operatorname{tg}(a — \beta) — (\operatorname{tg} a — \operatorname{tg} \beta) = \frac{(\operatorname{tg} a — \operatorname{tg} \beta) — (\operatorname{tg} a — \operatorname{tg} \beta)(1 + \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta)}{1 + \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta} =$$ $$= \frac{(\operatorname{tg} a — \operatorname{tg} \beta)(1 — (1 + \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta))}{1 + \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta} = \frac{(\operatorname{tg} a — \operatorname{tg} \beta)(-\operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta)}{1 + \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta} =$$ $$= -\operatorname{tg}(a — \beta) \cdot \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta;$$

Найдем значение выражения:

$$\frac{\operatorname{tg}(a — \beta) — \operatorname{tg} a + \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg}(a — \beta) \cdot \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta} = \frac{-\operatorname{tg}(a — \beta) \cdot \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg}(a — \beta) \cdot \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta} = -1;$$

Таким образом, выражение принимает одно и то же значение при любых допустимых значениях $a$ и $\beta$, что и требовалось доказать.

Доказать, что значение выражения

$$\frac{\operatorname{tg}(a — \beta) — \operatorname{tg} a + \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg}(a — \beta) \cdot \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta}$$

не зависит от значения $\beta$.

Шаг 1: Формула разности тангенсов

Вспомним формулу для тангенса разности двух углов:

$$\operatorname{tg}(a — \beta) = \frac{\operatorname{tg} a — \operatorname{tg} \beta}{1 + \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta}$$

Эта формула является стандартной тригонометрической формулой. Мы будем использовать её, чтобы преобразовать числитель.

Шаг 2: Обозначим переменные

Для упрощения обозначим:

• $x = \operatorname{tg} a$
• $y = \operatorname{tg} \beta$

Тогда:

$$\operatorname{tg}(a — \beta) = \frac{x — y}{1 + x y}$$

Подставим это в числитель исходного выражения:

$$\text{Числитель} = \frac{x — y}{1 + x y} — x + y$$

Шаг 3: Приведение к общему знаменателю

Преобразуем:

$$\frac{x — y}{1 + x y} — x + y = \frac{x — y — (x — y)(1 + x y)}{1 + x y}$$

Но сделаем это более подробно. Чтобы объединить дробь и два слагаемых, приведём всё к общему знаменателю $1 + x y$:

$$\frac{x — y}{1 + x y} — x + y = \frac{x — y — (x — y)(1 + x y)}{1 + x y}$$

Распишем числитель:

$$(x — y) — (x — y)(1 + x y) = (x — y)\left[1 — (1 + x y)\right] = (x — y)(-x y)$$

Значит, весь числитель стал:

$$\frac{(x — y)(-x y)}{1 + x y}$$

Шаг 4: Преобразуем числитель

Теперь подставим обратно, что $x = \operatorname{tg} a$, $y = \operatorname{tg} \beta$:

$$\frac{(\operatorname{tg} a — \operatorname{tg} \beta)(-\operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta)}{1 + \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta}$$

Теперь вспомним, что:

$$\operatorname{tg}(a — \beta) = \frac{\operatorname{tg} a — \operatorname{tg} \beta}{1 + \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta}$$

Следовательно, числитель можно записать так:

$$\left(\operatorname{tg}(a — \beta)\right) \cdot \left(-\operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta\right) = -\operatorname{tg}(a — \beta) \cdot \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta$$

Шаг 5: Подставим в исходное выражение

Теперь запишем исходную дробь:

$$\frac{\operatorname{tg}(a — \beta) — \operatorname{tg} a + \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg}(a — \beta) \cdot \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta}$$

Подставим числитель:

$$\frac{-\operatorname{tg}(a — \beta) \cdot \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg}(a — \beta) \cdot \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta}$$

Сократим числитель и знаменатель (при условии, что ни один из множителей не равен нулю):

$$= -1$$

Шаг 6: Вывод

Мы получили, что значение выражения:

$$\frac{\operatorname{tg}(a — \beta) — \operatorname{tg} a + \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg}(a — \beta) \cdot \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta}$$

всегда равно $-1$, при любых допустимых значениях $a$ и $\beta$, где все тангенсы определены и выражение имеет смысл.

Таким образом, значение выражения не зависит от $\beta$ (или от $a$) — оно всегда равно $-1$.

Что и требовалось доказать.