ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 26.1 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Упростите выражения:

а) $\sin (\frac{\pi }{2}-t)$

б) $\cos (2\pi -t)$

в) $\cos (\frac{3\pi }{2}+t)$

г) $\sin (\pi +t)$

Упростить выражение:

а) $\sin\left(\frac{\pi}{2} — t\right) = \cos t$;

Определим знак функции:
$0 < t < \frac{\pi}{2};$
$0 < \frac{\pi}{2} — t < \frac{\pi}{2};$
$\sin\left(\frac{\pi}{2} — t\right) > 0;$

Ответ: $\cos t$.

б) $\cos(2\pi — t) = \cos t$;

Определим знак функции:
$0 < t < \frac{\pi}{2};$
$\frac{3\pi}{2} < 2\pi — t \leqslant 2\pi;$
$\cos(2\pi — t) > 0;$

Ответ: $\cos t$.

в) $\cos\left(\frac{3\pi}{2} + t\right) = \sin t$;

Определим знак функции:
$0 < t < \frac{\pi}{2};$
$\frac{3\pi}{2} < \frac{3\pi}{2} + t < 2\pi;$
$\cos\left(\frac{3\pi}{2} + t\right) > 0;$

Ответ: $\sin t$.

г) $\sin(\pi + t) = -\sin t$;

Определим знак функции:
$0 < t < \frac{\pi}{2};$
$\pi < \pi + t < \frac{3\pi}{2};$
$\sin(\pi + t) < 0;$

Ответ: $-\sin t$.

а) $\sin\left(\frac{\pi}{2} — t\right)$

Шаг 1: Применим тригонометрическую формулу

Это формула приведения:

$$\sin\left(\frac{\pi}{2} — t\right) = \cos t$$

Эта формула справедлива при любых значениях $t$, так как:

• $\sin\left(\frac{\pi}{2} — x\right) = \cos x$

Шаг 2: Определим знак выражения

Условие:

$$0 < t < \frac{\pi}{2}$$

Значит:

$$0 < \frac{\pi}{2} — t < \frac{\pi}{2}$$

То есть аргумент $\frac{\pi}{2} — t$ лежит в первой четверти.

А в первой четверти:

• $\sin x > 0$
• $\cos x > 0$

Значит:

$$\sin\left(\frac{\pi}{2} — t\right) > 0$$ $$\cos t > 0$$

Вывод:

$$\sin\left(\frac{\pi}{2} — t\right) = \cos t$$

Ответ: $\cos t$

б) $\cos(2\pi — t)$

Шаг 1: Применим тригонометрическую формулу

Формула:

$$\cos(2\pi — t) = \cos t$$

Это стандартное тождество — свойство четности функции косинуса:

$$\cos(-x) = \cos x \Rightarrow \cos(2\pi — t) = \cos t$$

Шаг 2: Определим знак

Условие:

$$0 < t < \frac{\pi}{2}$$

Тогда:

$$\frac{3\pi}{2} < 2\pi — t < 2\pi$$

Аргумент $2\pi — t$ лежит в четвёртой четверти.

В четвёртой четверти:

• $\cos x > 0$

Значит:

$$\cos(2\pi — t) > 0$$ $$\cos t > 0$$

Вывод:

$$\cos(2\pi — t) = \cos t$$

Ответ: $\cos t$

в) $\cos\left(\frac{3\pi}{2} + t\right)$

Шаг 1: Преобразуем выражение с помощью формулы приведения

$$\cos\left(\frac{3\pi}{2} + t\right)$$

Это угол вида $\frac{3\pi}{2} + x$, значит:

$$\cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = \sin x$$

Но при этом нужно учитывать знак, в зависимости от четверти.

Шаг 2: Определим знак функции

Условие:

$$0 < t < \frac{\pi}{2}$$

Тогда:

$$\frac{3\pi}{2} < \frac{3\pi}{2} + t < 2\pi$$

Аргумент лежит в четвёртой четверти.

В четвёртой четверти:

• $\cos x > 0$

А значит:

$$\cos\left(\frac{3\pi}{2} + t\right) > 0$$

Также:

$$\cos\left(\frac{3\pi}{2} + t\right) = \sin t$$

(Знак положительный, потому что в четвёртой четверти косинус положительный.)

Вывод:

$$\cos\left(\frac{3\pi}{2} + t\right) = \sin t$$

Ответ: $\sin t$

г) $\sin(\pi + t)$

Шаг 1: Применим формулу приведения

Формула:

$$\sin(\pi + x) = -\sin x$$

Это угол вида $\pi + x$, и при переходе через $\pi$ функция меняет знак.

Шаг 2: Определим знак функции

Условие:

$$0 < t < \frac{\pi}{2}$$

Значит:

$$\pi < \pi + t < \frac{3\pi}{2}$$

Аргумент лежит в третьей четверти.

В третьей четверти:

• $\sin x < 0$

Значит:

$$\sin(\pi + t) < 0$$

И по формуле:

$$\sin(\pi + t) = -\sin t$$

Вывод:

$$\sin(\pi + t) = -\sin t$$

Ответ: $-\sin t$