ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 26.10 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) $\frac{\cos ({180}^{\circ }+a)\cdot \cos (-a)}{\sin (-a)\cdot \sin ({90}^{\circ }+a)}$

б) $\frac{\sin (\pi -t)\cdot \cos (2\pi -t)}{\mathrm{tg}(\pi -t)\cdot \cos (\pi -t)}$

в) $\frac{\sin (-a)\cdot \mathrm{ctg}(-a)}{\cos ({360}^{\circ }-a)\cdot \mathrm{tg}({180}^{\circ }+a)}$

г) $\frac{\sin (\pi +t)\cdot \sin (2\pi +t)}{\mathrm{tg}(\pi +t)\cdot \cos (\frac{3\pi }{2}+t)}$

Упростить выражение:

а) $\frac{\cos(180^\circ + a) \cdot \cos(-a)}{\sin(-a) \cdot \sin(90^\circ + a)} = \frac{\cos(\pi + a) \cdot \cos a}{-\sin a \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2} + a\right)} = \frac{-\cos a \cdot \cos a}{-\sin a \cdot \cos a} = \operatorname{ctg} a$;

Ответ: $\operatorname{ctg} a$.

б) $\frac{\sin(\pi — t) \cdot \cos(2\pi — t)}{\operatorname{tg}(\pi — t) \cdot \cos(\pi — t)} = \frac{\sin t \cdot \cos t}{\operatorname{tg} t \cdot (-\cos t)} = \frac{\sin t}{-\operatorname{tg} t} = \sin t : \frac{\sin t}{\cos t} = \cos t$;

Ответ: $\cos t$.

в) $\frac{\sin(-a) \cdot \operatorname{ctg}(-a)}{\cos(360^\circ — a) \cdot \operatorname{tg}(180^\circ + a)} = \frac{-\sin a \cdot (-\operatorname{ctg} a)}{\cos(2\pi — a) \cdot \operatorname{tg}(\pi + a)} = \frac{\sin a \cdot \operatorname{ctg} a}{\cos a \cdot \operatorname{tg} a} = \operatorname{tg} a \cdot \frac{\operatorname{ctg} a}{\operatorname{tg} a} = \operatorname{ctg} a$;

Ответ: $\operatorname{ctg} a$.

г) $\frac{\sin(\pi + t) \cdot \sin(2\pi + t)}{\operatorname{tg}(\pi + t) \cdot \cos\left(\frac{3\pi}{2} + t\right)} = \frac{-\sin t \cdot \sin t}{\operatorname{tg} t \cdot \sin t} = -\frac{\sin t}{\operatorname{tg} t} = -\sin t : \frac{\sin t}{\cos t} = -\cos t$;

Ответ: $-\cos t$.

а)

$$\frac{\cos(180^\circ + a) \cdot \cos(-a)}{\sin(-a) \cdot \sin(90^\circ + a)}$$

Шаг 1. Переведём градусы в радианы:

• $180^\circ = \pi$
• $90^\circ = \frac{\pi}{2}$

Подставим:

$$= \frac{\cos(\pi + a) \cdot \cos(-a)}{\sin(-a) \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2} + a\right)}$$

Шаг 2. Используем тригонометрические тождества:

• $\cos(\pi + a) = -\cos a$
• $\cos(-a) = \cos a$
• $\sin(-a) = -\sin a$
• $\sin\left(\frac{\pi}{2} + a\right) = \cos a$

Теперь подставим:

$$= \frac{(-\cos a) \cdot \cos a}{(-\sin a) \cdot \cos a}$$

Шаг 3. Упростим числитель и знаменатель:

• Числитель: $-\cos a \cdot \cos a = -\cos^2 a$
• Знаменатель: $-\sin a \cdot \cos a = -\sin a \cos a$

$$= \frac{-\cos^2 a}{-\sin a \cos a}$$

Шаг 4. Сократим минусы и $\cos a$:

$$= \frac{\cos a}{\sin a} = \operatorname{ctg} a$$

Ответ: $\operatorname{ctg} a$

б)

$$\frac{\sin(\pi — t) \cdot \cos(2\pi — t)}{\operatorname{tg}(\pi — t) \cdot \cos(\pi — t)}$$

Шаг 1. Используем тождества:

• $\sin(\pi — t) = \sin t$
• $\cos(2\pi — t) = \cos t$
• $\operatorname{tg}(\pi — t) = -\operatorname{tg} t$
• $\cos(\pi — t) = -\cos t$

Подставим:

$$= \frac{\sin t \cdot \cos t}{(-\operatorname{tg} t) \cdot (-\cos t)}$$

Шаг 2. Упростим знаменатель:

• $(- \operatorname{tg} t)(- \cos t) = \operatorname{tg} t \cdot \cos t$

Теперь:

$$= \frac{\sin t \cdot \cos t}{\operatorname{tg} t \cdot \cos t}$$

Шаг 3. Сократим $\cos t$:

$$= \frac{\sin t}{\operatorname{tg} t}$$

Шаг 4. Раскроем $\operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t}$:

$$= \frac{\sin t}{\frac{\sin t}{\cos t}} = \cos t$$

Ответ: $\cos t$

в)

$$\frac{\sin(-a) \cdot \operatorname{ctg}(-a)}{\cos(360^\circ — a) \cdot \operatorname{tg}(180^\circ + a)}$$

Шаг 1. Переведём в радианы:

• $360^\circ = 2\pi$
• $180^\circ = \pi$

Подставим:

$$= \frac{\sin(-a) \cdot \operatorname{ctg}(-a)}{\cos(2\pi — a) \cdot \operatorname{tg}(\pi + a)}$$

Шаг 2. Используем тождества:

• $\sin(-a) = -\sin a$
• $\operatorname{ctg}(-a) = -\operatorname{ctg} a$
• $\cos(2\pi — a) = \cos a$
• $\operatorname{tg}(\pi + a) = \operatorname{tg} a$

Подставим:

$$= \frac{(-\sin a) \cdot (-\operatorname{ctg} a)}{\cos a \cdot \operatorname{tg} a}$$

Шаг 3. Упростим:

• Числитель: $-\sin a \cdot -\operatorname{ctg} a = \sin a \cdot \operatorname{ctg} a$

$$= \frac{\sin a \cdot \operatorname{ctg} a}{\cos a \cdot \operatorname{tg} a}$$

Шаг 4. Представим всё через $\sin$ и $\cos$:

• $\operatorname{ctg} a = \frac{\cos a}{\sin a}$
• $\operatorname{tg} a = \frac{\sin a}{\cos a}$

Подставим:

$$= \frac{\sin a \cdot \frac{\cos a}{\sin a}}{\cos a \cdot \frac{\sin a}{\cos a}} = \frac{\cos a}{\frac{\sin a^2}{\cos a}} = \operatorname{ctg} a$$

(или: $\operatorname{tg} a \cdot \frac{\operatorname{ctg} a}{\operatorname{tg} a} = \operatorname{ctg} a$)

Ответ: $\operatorname{ctg} a$

г)

$$\frac{\sin(\pi + t) \cdot \sin(2\pi + t)}{\operatorname{tg}(\pi + t) \cdot \cos\left(\frac{3\pi}{2} + t\right)}$$

Шаг 1. Используем тождества:

• $\sin(\pi + t) = -\sin t$
• $\sin(2\pi + t) = \sin t$
• $\operatorname{tg}(\pi + t) = \operatorname{tg} t$
• $\cos\left(\frac{3\pi}{2} + t\right) = \sin t$

Подставим:

$$= \frac{(-\sin t) \cdot \sin t}{\operatorname{tg} t \cdot \sin t}$$

Шаг 2. Упростим:

• Числитель: $-\sin^2 t$
• Знаменатель: $\operatorname{tg} t \cdot \sin t$

$$= \frac{-\sin^2 t}{\operatorname{tg} t \cdot \sin t}$$

Сократим $\sin t$:

$$= \frac{-\sin t}{\operatorname{tg} t}$$

Шаг 3. Представим $\operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t}$:

$$= -\sin t : \frac{\sin t}{\cos t} = -\cos t$$

Ответ: $-\cos t$