ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 26.11 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) $\frac{\cos (\pi -t)+\cos (\frac{\pi }{2}-t)}{\sin (2\pi -t)-\sin (\frac{3\pi }{2}-t)}$

б) $\frac{{\sin }^2(\pi -t)+{\sin }^2(\frac{\pi }{2}-t)}{\sin (\pi -t)}\cdot \mathrm{tg}(\pi -t)$

Упростить выражение:

а) $\frac{\cos (\pi — t) + \cos \left( \frac{\pi}{2} — t \right)}{\sin (2\pi — t) — \sin \left( \frac{3\pi}{2} — t \right)} = \frac{-\cos t + \sin t}{-\sin t — (-\cos t)} = \frac{-(\cos t — \sin t)}{\cos t — \sin t} = -1$;

Ответ: $-1$.

б) $\frac{\sin^2 (\pi — t) + \sin^2 \left( \frac{\pi}{2} — t \right)}{\sin (\pi — t)} \cdot \operatorname{tg} (\pi — t) = \frac{\sin^2 t + \cos^2 t}{\sin t} \cdot (-\operatorname{tg} t) = \frac{1}{\sin t} \cdot \left( -\frac{\sin t}{\cos t} \right) = -\frac{1}{\cos t}$;

Ответ: $-\frac{1}{\cos t}$.

а)

Упростить выражение:

$$\frac{\cos (\pi — t) + \cos \left( \frac{\pi}{2} — t \right)}{\sin (2\pi — t) — \sin \left( \frac{3\pi}{2} — t \right)}$$

Шаг 1. Применим тригонометрические тождества:

• $\cos(\pi — t) = -\cos t$
• $\cos\left(\frac{\pi}{2} — t\right) = \sin t$
• $\sin(2\pi — t) = -\sin t$
• $\sin\left(\frac{3\pi}{2} — t\right) = -\cos t$

Шаг 2. Подставим полученные значения:

Числитель:

$$\cos(\pi — t) + \cos\left(\frac{\pi}{2} — t\right) = -\cos t + \sin t$$

Знаменатель:

$$\sin(2\pi — t) — \sin\left(\frac{3\pi}{2} — t\right) = -\sin t — (-\cos t) = -\sin t + \cos t$$

Шаг 3. Соберём всё в дробь:

$$\frac{-\cos t + \sin t}{\cos t — \sin t}$$

Перепишем числитель, вынеся минус за скобки:

$$= \frac{-(\cos t — \sin t)}{\cos t — \sin t}$$

Шаг 4. Сократим:

$$= -1$$

Ответ: $-1$

б)

Упростить выражение:

$$\frac{\sin^2 (\pi — t) + \sin^2 \left( \frac{\pi}{2} — t \right)}{\sin (\pi — t)} \cdot \operatorname{tg} (\pi — t)$$

Шаг 1. Применим тождества:

• $\sin(\pi — t) = \sin t$
• $\sin\left(\frac{\pi}{2} — t\right) = \cos t$
• $\operatorname{tg}(\pi — t) = -\operatorname{tg} t$

Шаг 2. Вычислим числитель:

$$\sin^2(\pi — t) + \sin^2\left(\frac{\pi}{2} — t\right) = \sin^2 t + \cos^2 t$$

Шаг 3. Используем основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$$

Шаг 4. Подставим всё в выражение:

$$\frac{1}{\sin t} \cdot (-\operatorname{tg} t)$$

Шаг 5. Раскроем $\operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t}$:

$$= \frac{1}{\sin t} \cdot \left(-\frac{\sin t}{\cos t}\right)$$

Шаг 6. Сократим $\sin t$:

$$= -\frac{1}{\cos t}$$

Ответ: $-\frac{1}{\cos t}$