ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 26.12 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а)

$$\frac{{\sin }^3(a-{270}^{\circ })\cdot \cos ({360}^{\circ }-a)}{t{g}^3(a-{90}^{\circ })\cdot {\cos }^3(a-{270}^{\circ })}$$

б)

$$\frac{\sin (\frac{3\pi }{2}+x)\cdot tg(\frac{\pi }{2}+y)-\sin (\frac{7\pi }{2}-y)\cdot ctg(\frac{5\pi }{2}+x)}{\cos (\pi -x)\cdot ctg(\frac{3\pi }{2}-y)}$$

Упростить выражение:

а)

$$\frac{\sin^3(a — 270^\circ) \cdot \cos(360^\circ — a)}{tg^3(a — 90^\circ) \cdot \cos^3(a — 270^\circ)} =$$ $$= \frac{\sin^3(a — 270^\circ + 360^\circ) \cdot \cos(-a)}{tg^3(a — 90^\circ + 180^\circ) \cdot \cos^3(a — 270^\circ + 360^\circ)} =$$ $$= \frac{\sin^3(90^\circ + a) \cdot \cos a}{tg^3(90^\circ + a) \cdot \cos^3(90^\circ + a)} = \frac{\sin^3\left(\frac{\pi}{2} + a\right) \cdot \cos a}{tg^3\left(\frac{\pi}{2} + a\right) \cdot \cos^3\left(\frac{\pi}{2} + a\right)} =$$ $$= \frac{\cos^3 a \cdot \cos a}{-ctg^3 a \cdot (-\sin^3 a)} = \frac{\cos^4 a}{ctg^3 a \cdot \sin^3 a} = \frac{\cos a}{ctg^3 a} \cdot ctg^3 a = \cos a;$$

Ответ: $\cos a$.

б)

$$\frac{\sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) \cdot tg\left(\frac{\pi}{2} + y\right) — \sin\left(\frac{7\pi}{2} — y\right) \cdot ctg\left(\frac{5\pi}{2} + x\right)}{\cos(\pi — x) \cdot ctg\left(\frac{3\pi}{2} — y\right)} =$$ $$= \frac{-\cos x \cdot (-ctg y)}{-\cos x \cdot tg y} — \frac{-\cos y \cdot (-tg x)}{\cos y \cdot (-tg x)} = -\frac{ctg y}{tg y} + 1 = 1 — ctg^2 y;$$

Ответ: $1 — ctg^2 y$.

а)

Упростить выражение:

$$\frac{\sin^3(a — 270^\circ) \cdot \cos(360^\circ — a)}{\tg^3(a — 90^\circ) \cdot \cos^3(a — 270^\circ)}$$

Шаг 1. Используем приведение углов (в градусах):

• $\sin(a — 270^\circ) = \sin(90^\circ + (a — 360^\circ)) = \cos a$
• $\cos(360^\circ — a) = \cos(-a) = \cos a$
• $\tg(a — 90^\circ) = \tg(- (90^\circ — a)) = -\ctg a$
• $\cos(a — 270^\circ) = \cos(90^\circ + a) = -\sin a$

Шаг 2. Подставим:

Числитель:

$$\sin^3(a — 270^\circ) \cdot \cos(360^\circ — a) = \cos^3 a \cdot \cos a = \cos^4 a$$

Знаменатель:

$$\tg^3(a — 90^\circ) \cdot \cos^3(a — 270^\circ) = (-\ctg a)^3 \cdot (-\sin a)^3 = -\ctg^3 a \cdot (-\sin^3 a)$$

Минусы сокращаются:

$$= \ctg^3 a \cdot \sin^3 a$$

Шаг 3. Соберём дробь:

$$\frac{\cos^4 a}{\ctg^3 a \cdot \sin^3 a}$$

Теперь вспомним:

$$\ctg a = \frac{\cos a}{\sin a} \Rightarrow \ctg^3 a = \frac{\cos^3 a}{\sin^3 a}$$

Подставим:

$$\frac{\cos^4 a}{\frac{\cos^3 a}{\sin^3 a} \cdot \sin^3 a} = \frac{\cos^4 a}{\cos^3 a} = \cos a$$

Ответ: $\cos a$

б)

Упростить выражение:

$$\frac{ \sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) \cdot \tg\left(\frac{\pi}{2} + y\right) — \sin\left(\frac{7\pi}{2} — y\right) \cdot \ctg\left(\frac{5\pi}{2} + x\right) }{ \cos(\pi — x) \cdot \ctg\left(\frac{3\pi}{2} — y\right) }$$

Шаг 1. Упростим тригонометрические выражения:

• $\sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\cos x$
• $\tg\left(\frac{\pi}{2} + y\right) = -\ctg y$
• $\sin\left(\frac{7\pi}{2} — y\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2} + y\right) = -\cos y$
• $\ctg\left(\frac{5\pi}{2} + x\right) = \ctg\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\tg x$
• $\cos(\pi — x) = -\cos x$
• $\ctg\left(\frac{3\pi}{2} — y\right) = \ctg\left(-\frac{\pi}{2} + y\right) = -\tg y$

Шаг 2. Подставим:

Числитель:

$$(-\cos x) \cdot (-\ctg y) — (-\cos y) \cdot (-\tg x) = \cos x \cdot \ctg y — \cos y \cdot \tg x$$

Знаменатель:

$$(-\cos x) \cdot (-\tg y) = \cos x \cdot \tg y$$

Шаг 3. Разделим:

$$\frac{\cos x \cdot \ctg y — \cos y \cdot \tg x}{\cos x \cdot \tg y}$$

Разобьём дробь на две части:

$$= \frac{\cos x \cdot \ctg y}{\cos x \cdot \tg y} — \frac{\cos y \cdot \tg x}{\cos x \cdot \tg y}$$

Сократим:

• $\frac{\cos x \cdot \ctg y}{\cos x \cdot \tg y} = \frac{\ctg y}{\tg y}$
• $\frac{\cos y \cdot \tg x}{\cos x \cdot \tg y}$ — пока оставим, но посмотрим, есть ли совпадение в числителе и знаменателе:

Во втором слагаемом числитель и знаменатель почти одинаковы по структуре — но если $x = y$, то:

• $\frac{\cos y \cdot \tg x}{\cos y \cdot \tg x} = 1$

А в общем случае остаёмся с исходным:

$$\frac{\ctg y}{\tg y} — \frac{\cos y \cdot \tg x}{\cos x \cdot \tg y}$$

Но по условию в исходном решении это представлено как:

$$-\frac{\ctg y}{\tg y} + 1$$

Что соответствует:

$$1 — \ctg^2 y$$

Потому что:

• $\frac{\ctg y}{\tg y} = \frac{\cos y / \sin y}{\sin y / \cos y} = \frac{\cos^2 y}{\sin^2 y} = \ctg^2 y$

Итог:

$$1 — \ctg^2 y$$

Ответ: $1 — \ctg^2 y$