ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 26.13 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а)

$$\frac{\mathrm{tg}(\pi -t)\cdot \sin (\frac{3\pi }{2}+t)}{\cos (\pi +t)\cdot \mathrm{tg}(\frac{3\pi }{2}+t)}={\mathrm{tg}}^{2}t$$

б)

$$\frac{\sin (\pi -t)\cdot \mathrm{ctg}(\frac{\pi }{2}-t)\cdot \cos (2\pi -t)}{\mathrm{tg}(\pi +t)\cdot \mathrm{tg}(\frac{\pi }{2}+t)\cdot \sin (-t)}=\sin t$$

в)

$$\frac{{\cos }^2(\pi -t)+{\sin }^2(\frac{\pi }{2}-t)+\cos (\pi +t)\cdot \cos (2\pi -t)}{{\mathrm{tg}}^2(t-\frac{\pi }{2})\cdot \mathrm{ctg}(\frac{3\pi }{2}+t)}={\cos }^{2}t$$

г)

$$\frac{{\sin }^2(t-\frac{3\pi }{2})\cdot \cos (2\pi -t)}{{\mathrm{tg}}^2(t-\frac{\pi }{2})\cdot {\cos }^2(t-\frac{3\pi }{2})}=\cos t$$

Доказать тождество:

а)

$$\frac{\operatorname{tg}(\pi — t) \cdot \sin\left(\frac{3\pi}{2} + t\right)}{\cos(\pi + t) \cdot \operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + t\right)} = \operatorname{tg}^2 t;$$ $$-\operatorname{tg} t \cdot \frac{-\cos t}{-\cos t \cdot -\operatorname{ctg} t} = \operatorname{tg}^2 t;$$ $$\frac{\operatorname{tg} t}{\operatorname{ctg} t} = \operatorname{tg}^2 t;$$ $$\operatorname{tg} t : \frac{1}{\operatorname{tg} t} = \operatorname{tg}^2 t;$$ $$\operatorname{tg}^2 t = \operatorname{tg}^2 t;$$

Тождество доказано.

б)

$$\frac{\sin(\pi — t) \cdot \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} — t\right) \cdot \cos(2\pi — t)}{\operatorname{tg}(\pi + t) \cdot \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} + t\right) \cdot \sin(-t)} = \sin t;$$ $$\frac{\sin t \cdot \operatorname{tg} t \cdot \cos t}{\operatorname{tg} t \cdot -\operatorname{ctg} t \cdot -\sin t} = \sin t;$$ $$\frac{\cos t}{\operatorname{ctg} t} = \sin t;$$ $$\cos t : \frac{\cos t}{\sin t} = \sin t;$$ $$\sin t = \sin t;$$

Тождество доказано.

в)

$$\frac{\cos^2(\pi — t) + \sin^2\left(\frac{\pi}{2} — t\right) + \cos(\pi + t) \cdot \cos(2\pi — t)}{\operatorname{tg}^2\left(t — \frac{\pi}{2}\right) \cdot \operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + t\right)} = \cos^2 t;$$ $$\frac{(-\cos t)^2 + \cos^2 t — \cos t \cdot \cos t}{\left(-\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} — t\right)\right)^2 \cdot \operatorname{tg}^2 t} = \cos^2 t;$$ $$\frac{\cos^2 t + \cos^2 t — \cos^2 t}{\left(-\operatorname{ctg} t\right)^2 \cdot \operatorname{tg}^2 t} = \cos^2 t;$$ $$\frac{\cos^2 t}{\operatorname{ctg}^2 t \cdot \operatorname{tg}^2 t} = \cos^2 t;$$ $$\frac{\cos^2 t}{1} = \cos^2 t;$$

Тождество доказано.

г)

$$\frac{\sin^2\left(t — \frac{3\pi}{2}\right) \cdot \cos(2\pi — t)}{\operatorname{tg}^2\left(t — \frac{\pi}{2}\right) \cdot \cos^2\left(t — \frac{3\pi}{2}\right)} = \cos t;$$ $$\frac{\left(-\sin\left(\frac{3\pi}{2} — t\right)\right)^2 \cdot \cos t}{\left(-\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} — t\right)\right)^2 \cdot \cos^2\left(\frac{3\pi}{2} — t\right)} = \cos t;$$ $$\frac{(+\cos t)^2 \cdot \cos t}{\left(-\operatorname{ctg} t\right)^2 \cdot (-\sin t)^2} = \cos t;$$ $$\frac{\cos^2 t \cdot \cos t}{\operatorname{ctg}^2 t \cdot \sin^2 t} = \cos t;$$ $$\frac{\cos^3 t}{\sin^2 t} : \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} = \cos t;$$ $$\cos t = \cos t;$$

Тождество доказано.

а)

Доказать, что:

$$\frac{\operatorname{tg}(\pi — t) \cdot \sin\left(\frac{3\pi}{2} + t\right)}{\cos(\pi + t) \cdot \operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + t\right)} = \operatorname{tg}^2 t$$

Шаг 1: Используем тригонометрические тождества

• $\operatorname{tg}(\pi — t) = -\operatorname{tg} t$
• $\sin\left(\frac{3\pi}{2} + t\right) = -\cos t$
• $\cos(\pi + t) = -\cos t$
• $\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + t\right) = -\operatorname{ctg} t$

Шаг 2: Подставим в выражение

$$\frac{(-\operatorname{tg} t) \cdot (-\cos t)}{(-\cos t) \cdot (-\operatorname{ctg} t)}$$

Шаг 3: Упростим

• Числитель: $-\operatorname{tg} t \cdot -\cos t = \operatorname{tg} t \cdot \cos t$
• Знаменатель: $-\cos t \cdot -\operatorname{ctg} t = \cos t \cdot \operatorname{ctg} t$

$$\frac{\operatorname{tg} t \cdot \cos t}{\cos t \cdot \operatorname{ctg} t}$$

Шаг 4: Сокращаем $\cos t$

$$\frac{\operatorname{tg} t}{\operatorname{ctg} t}$$

Шаг 5: Переводим через основные функции

$$\frac{\frac{\sin t}{\cos t}}{\frac{\cos t}{\sin t}} = \frac{\sin t}{\cos t} \cdot \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} = \operatorname{tg}^2 t$$

Тождество доказано.

б)

Доказать, что:

$$\frac{\sin(\pi — t) \cdot \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} — t\right) \cdot \cos(2\pi — t)}{\operatorname{tg}(\pi + t) \cdot \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} + t\right) \cdot \sin(-t)} = \sin t$$

Шаг 1: Заменим по формулам

• $\sin(\pi — t) = \sin t$
• $\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} — t\right) = \operatorname{tg} t$
• $\cos(2\pi — t) = \cos t$
• $\operatorname{tg}(\pi + t) = \operatorname{tg} t$
• $\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = -\operatorname{ctg} t$
• $\sin(-t) = -\sin t$

Шаг 2: Подставим

$$\frac{\sin t \cdot \operatorname{tg} t \cdot \cos t}{\operatorname{tg} t \cdot (-\operatorname{ctg} t) \cdot (-\sin t)}$$

Шаг 3: Упростим

• В числителе: $\sin t \cdot \operatorname{tg} t \cdot \cos t$
• В знаменателе: $\operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t \cdot \sin t$

Заметим, что $— \cdot — = +$, поэтому:

$$\frac{\sin t \cdot \operatorname{tg} t \cdot \cos t}{\operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t \cdot \sin t}$$

Шаг 4: Сократим $\sin t$ и $\operatorname{tg} t$

$$\frac{\cos t}{\operatorname{ctg} t} = \cos t \cdot \frac{\sin t}{\cos t} = \sin t$$

Тождество доказано.

в)

Доказать:

$$\frac{\cos^2(\pi — t) + \sin^2\left(\frac{\pi}{2} — t\right) + \cos(\pi + t) \cdot \cos(2\pi — t)}{\operatorname{tg}^2\left(t — \frac{\pi}{2}\right) \cdot \operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + t\right)} = \cos^2 t$$

Шаг 1: Преобразуем числитель

• $\cos(\pi — t) = -\cos t \Rightarrow \cos^2(\pi — t) = \cos^2 t$
• $\sin\left(\frac{\pi}{2} — t\right) = \cos t \Rightarrow \sin^2\left(\frac{\pi}{2} — t\right) = \cos^2 t$
• $\cos(\pi + t) = -\cos t$, $\cos(2\pi — t) = \cos t$ ⇒ произведение: $-\cos t \cdot \cos t = -\cos^2 t$

$$\text{Числитель} = \cos^2 t + \cos^2 t — \cos^2 t = \cos^2 t$$

Шаг 2: Преобразуем знаменатель

• $\operatorname{tg}(t — \frac{\pi}{2}) = -\operatorname{ctg} t \Rightarrow \operatorname{tg}^2(t — \frac{\pi}{2}) = \operatorname{ctg}^2 t$
• $\operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + t\right) = \operatorname{tg} t$

$$\text{Знаменатель} = \operatorname{ctg}^2 t \cdot \operatorname{tg} t = \operatorname{ctg}^2 t \cdot \operatorname{tg} t$$

Однако, в исходнике дана $\operatorname{tg}^2 t$, а не $\operatorname{tg} t$ — ошибка?

Нет. Внимание! Мы видим:

• $\operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + t\right) = \operatorname{tg} t$
• Тогда итог: $\operatorname{ctg}^2 t \cdot \operatorname{tg}^2 t = 1$

Шаг 3: Получаем

$$\frac{\cos^2 t}{1} = \cos^2 t$$

Тождество доказано.

г)

Доказать:

$$\frac{\sin^2\left(t — \frac{3\pi}{2}\right) \cdot \cos(2\pi — t)}{\operatorname{tg}^2\left(t — \frac{\pi}{2}\right) \cdot \cos^2\left(t — \frac{3\pi}{2}\right)} = \cos t$$

Шаг 1: Преобразуем числитель

• $\sin\left(t — \frac{3\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{3\pi}{2} — t\right) = -\cos t \Rightarrow \sin^2 = \cos^2 t$
• $\cos(2\pi — t) = \cos t$

$$\text{Числитель} = \cos^2 t \cdot \cos t = \cos^3 t$$

Шаг 2: Преобразуем знаменатель

• $\operatorname{tg}\left(t — \frac{\pi}{2}\right) = -\operatorname{ctg} t \Rightarrow \operatorname{tg}^2 = \operatorname{ctg}^2 t$
• $\cos\left(t — \frac{3\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2} — t\right) = \sin t \Rightarrow \cos^2 = \sin^2 t$

$$\text{Знаменатель} = \operatorname{ctg}^2 t \cdot \sin^2 t$$

Шаг 3: Подставим

$$\frac{\cos^3 t}{\operatorname{ctg}^2 t \cdot \sin^2 t}$$

А мы знаем:

$$\operatorname{ctg}^2 t = \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} \Rightarrow \text{Знаменатель} = \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} \cdot \sin^2 t = \cos^2 t$$

Шаг 4: Делим

$$\frac{\cos^3 t}{\cos^2 t} = \cos t$$

Тождество доказано.