ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 26.15 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а)

$$\frac{2\cos \frac{11\pi }{5}+8\sin \frac{13\pi }{10}}{\cos \frac{\pi }{5}}$$

б)

$$\frac{5\sin \frac{5\pi }{7}+2\cos \frac{25\pi }{14}}{\sin \frac{2\pi }{7}}$$

а)

$$\frac{2 \cos \frac{11 \pi}{5} + 8 \sin \frac{13 \pi}{10}}{\cos \frac{\pi}{5}} = \frac{2 \cos \left(2 \pi + \frac{\pi}{5}\right) + 8 \sin \left(\frac{3 \pi}{2} — \frac{\pi}{5}\right)}{\cos \frac{\pi}{5}}$$ $$= \frac{2 \cos \frac{\pi}{5} — 8 \cos \frac{\pi}{5}}{\cos \frac{\pi}{5}} = \frac{-6 \cos \frac{\pi}{5}}{\cos \frac{\pi}{5}} = -6;$$

Ответ: $-6$.

б)

$$\frac{5 \sin \frac{5 \pi}{7} + 2 \cos \frac{25 \pi}{14}}{\sin \frac{2 \pi}{7}} = \frac{5 \sin \left(\pi — \frac{2 \pi}{7}\right) + 2 \cos \left(\frac{3 \pi}{2} + \frac{2 \pi}{7}\right)}{\sin \frac{2 \pi}{7}}$$ $$= \frac{5 \sin \frac{2 \pi}{7} + 2 \sin \frac{2 \pi}{7}}{\sin \frac{2 \pi}{7}} = \frac{7 \sin \frac{2 \pi}{7}}{\sin \frac{2 \pi}{7}} = 7;$$

Ответ: $7$.

а)

$$\frac{2 \cos \frac{11\pi}{5} + 8 \sin \frac{13\pi}{10}}{\cos \frac{\pi}{5}}$$

Шаг 1: Упростим аргументы тригонометрических функций

$\cos \frac{11\pi}{5}$

Заметим, что $\frac{11\pi}{5} > 2\pi$, и можем привести аргумент к промежутку $[0, 2\pi)$:

$$\frac{11\pi}{5} = 2\pi + \frac{\pi}{5}$$

Поскольку $\cos(\theta + 2\pi) = \cos \theta$, получаем:

$$\cos \frac{11\pi}{5} = \cos \left(2\pi + \frac{\pi}{5}\right) = \cos \frac{\pi}{5}$$

$\sin \frac{13\pi}{10}$

Представим аргумент в виде:

$$\frac{13\pi}{10} = \frac{15\pi}{10} — \frac{2\pi}{10} = \frac{3\pi}{2} — \frac{\pi}{5}$$

Значит:

$$\sin \frac{13\pi}{10} = \sin \left(\frac{3\pi}{2} — \frac{\pi}{5}\right)$$

Используем формулу:

$$\sin\left(\frac{3\pi}{2} — x\right) = -\cos x$$

Отсюда:

$$\sin \left(\frac{3\pi}{2} — \frac{\pi}{5}\right) = -\cos \frac{\pi}{5}$$

Шаг 2: Подставим полученные выражения в исходную дробь

$$\frac{2 \cos \frac{11\pi}{5} + 8 \sin \frac{13\pi}{10}}{\cos \frac{\pi}{5}} = \frac{2 \cos \frac{\pi}{5} + 8 (-\cos \frac{\pi}{5})}{\cos \frac{\pi}{5}}$$ $$= \frac{2 \cos \frac{\pi}{5} — 8 \cos \frac{\pi}{5}}{\cos \frac{\pi}{5}} = \frac{-6 \cos \frac{\pi}{5}}{\cos \frac{\pi}{5}}$$

Шаг 3: Сокращаем дробь

$$\frac{-6 \cos \frac{\pi}{5}}{\cos \frac{\pi}{5}} = -6$$

Ответ: $-6$

б)

$$\frac{5 \sin \frac{5\pi}{7} + 2 \cos \frac{25\pi}{14}}{\sin \frac{2\pi}{7}}$$

Шаг 1: Упростим аргументы

$\sin \frac{5\pi}{7}$

Преобразуем:

$$\frac{5\pi}{7} = \pi — \frac{2\pi}{7}$$

Потому что $\pi = \frac{7\pi}{7}$, и:

$$\frac{5\pi}{7} = \frac{7\pi}{7} — \frac{2\pi}{7}$$

Значит:

$$\sin \frac{5\pi}{7} = \sin\left(\pi — \frac{2\pi}{7}\right)$$

Используем формулу:

$$\sin(\pi — x) = \sin x$$

Тогда:

$$\sin \left(\pi — \frac{2\pi}{7}\right) = \sin \frac{2\pi}{7}$$

$\cos \frac{25\pi}{14}$

Заметим:

$$\frac{25\pi}{14} = \frac{21\pi}{14} + \frac{4\pi}{14} = \frac{3\pi}{2} + \frac{2\pi}{7}$$

Значит:

$$\cos \frac{25\pi}{14} = \cos \left(\frac{3\pi}{2} + \frac{2\pi}{7}\right)$$

Используем формулу:

$$\cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = \sin x$$

Поэтому:

$$\cos \left(\frac{3\pi}{2} + \frac{2\pi}{7}\right) = \sin \frac{2\pi}{7}$$

Шаг 2: Подставим обратно в дробь

$$\frac{5 \sin \frac{5\pi}{7} + 2 \cos \frac{25\pi}{14}}{\sin \frac{2\pi}{7}} = \frac{5 \sin \frac{2\pi}{7} + 2 \sin \frac{2\pi}{7}}{\sin \frac{2\pi}{7}}$$ $$= \frac{(5 + 2)\sin \frac{2\pi}{7}}{\sin \frac{2\pi}{7}} = \frac{7 \sin \frac{2\pi}{7}}{\sin \frac{2\pi}{7}} = 7$$

Ответ: $7$