ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 26.17 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $\sin (\frac{\pi }{6}+t)\cdot \cos (\frac{\pi }{3}-t)+\sin (\frac{2\pi }{3}+t)\cdot \sin (\frac{\pi }{3}-t)$

б) $\cos (\frac{\pi }{4}+t)\cdot \cos (\frac{\pi }{12}-t)-\cos (\frac{\pi }{4}-t)\cdot \cos (\frac{5\pi }{12}+t)$$$

а) $\sin (\frac{\pi }{6}+t)\cdot \cos (\frac{\pi }{3}-t)+\sin (\frac{2\pi }{3}+t)\cdot \sin (\frac{\pi }{3}-t)=$

$= \sin\left(\frac{\pi}{6} + t\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3} — t\right) + \sin\left(\frac{\pi}{2} + \left(\frac{\pi}{6} + t\right)\right) \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3} — t\right) =$

$= \sin\left(\frac{\pi}{6} + t\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3} — t\right) + \cos\left(\frac{\pi}{6} + t\right) \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3} — t\right) =$

$= \sin\left(\left(\frac{\pi}{6} + t\right) + \left(\frac{\pi}{3} — t\right)\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{6}\right) = \sin\frac{3\pi}{6} = \sin\frac{\pi}{2} = 1;$

Ответ: 1.

б) $\cos (\frac{\pi }{4}+t)\cdot \cos (\frac{\pi }{12}-t)-\cos (\frac{\pi }{4}-t)\cdot \cos (\frac{5\pi }{12}+t)=$

$= \cos\left(\frac{\pi}{4} + t\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{12} — t\right) — \cos\left(\frac{\pi}{2} — \left(\frac{\pi}{4} + t\right)\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2} — \left(\frac{\pi}{12} — t\right)\right) =$

$= \cos\left(\frac{\pi}{4} + t\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{12} — t\right) — \sin\left(\frac{\pi}{4} + t\right) \cdot \sin\left(\frac{\pi}{12} — t\right) =$

$= \cos\left(\left(\frac{\pi}{4} + t\right) + \left(\frac{\pi}{12} — t\right)\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{12} + \frac{\pi}{12}\right) = \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2};$

Ответ: 0,5.

а)

$$\sin\left(\frac{\pi}{6} + t\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3} — t\right) + \sin\left(\frac{2\pi}{3} + t\right) \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3} — t\right)$$

Шаг 1. Внимательно смотрим на выражение.

Оно состоит из суммы двух произведений синусов и косинусов. Нам нужно либо привести к какому-то известному тождеству, либо использовать формулы преобразования суммы в произведение или наоборот.

Шаг 2. Заметим, что можно воспользоваться формулой:

$$\sin A \cos B + \cos A \sin B = \sin(A + B)$$

Но у нас структура немного другая, поэтому сначала преобразуем вторую часть.

Разбор второго слагаемого:

$$\sin\left(\frac{2\pi}{3} + t\right)$$

Вспоминаем:

$$\frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} \Rightarrow \sin\left(\frac{2\pi}{3} + t\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + \left(\frac{\pi}{6} + t\right)\right)$$

Формула приведения:

$$\sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos \alpha$$

Применим:

$$\sin\left(\frac{\pi}{2} + \left(\frac{\pi}{6} + t\right)\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6} + t\right)$$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$$\sin\left(\frac{\pi}{6} + t\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3} — t\right) + \cos\left(\frac{\pi}{6} + t\right) \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3} — t\right)$$

Теперь мы точно видим формулу синуса суммы углов:

$$\sin A \cos B + \cos A \sin B = \sin(A + B)$$

Где:

• $A = \frac{\pi}{6} + t$
• $B = \frac{\pi}{3} — t$

Применим формулу:

$$= \sin\left(\left(\frac{\pi}{6} + t\right) + \left(\frac{\pi}{3} — t\right)\right)$$

Скобки раскроем:

$$= \sin\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)$$

А это табличное значение:

$$\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$$

Ответ: $\boxed{1}$

б)

$$\cos\left(\frac{\pi}{4} + t\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{12} — t\right) — \cos\left(\frac{\pi}{4} — t\right) \cdot \cos\left(\frac{5\pi}{12} + t\right)$$

Шаг 1. Цель — выразить в виде одной функции

Обратим внимание на второе слагаемое:

$$\cos\left(\frac{\pi}{4} — t\right), \quad \cos\left(\frac{5\pi}{12} + t\right)$$

Второй угол можно представить так:

$$\frac{5\pi}{12} = \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{12} \Rightarrow \frac{5\pi}{12} + t = \frac{\pi}{2} — \left(\frac{\pi}{12} — t\right)$$

То есть:

$$\cos\left(\frac{5\pi}{12} + t\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} — \left(\frac{\pi}{12} — t\right)\right) = \sin\left(\frac{\pi}{12} — t\right)$$

Аналогично:

$$\cos\left(\frac{\pi}{4} — t\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} — \left(\frac{\pi}{4} + t\right)\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4} + t\right)$$

Подставим преобразованные выражения:

$$\cos\left(\frac{\pi}{4} + t\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{12} — t\right) — \sin\left(\frac{\pi}{4} + t\right) \cdot \sin\left(\frac{\pi}{12} — t\right)$$

Это снова — формула косинуса суммы углов:

$$\cos A \cos B — \sin A \sin B = \cos(A + B)$$

Где:

• $A = \frac{\pi}{4} + t$
• $B = \frac{\pi}{12} — t$

Складываем:

$$A + B = \frac{\pi}{4} + t + \frac{\pi}{12} — t = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12} = \frac{3\pi}{12} + \frac{\pi}{12} = \frac{4\pi}{12} = \frac{\pi}{3}$$

Подставим:

$$= \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$$

Табличное значение:

$$\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$$

Ответ: $\boxed{\frac{1}{2}}$