ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 26.18 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а)

$$\frac{\cos {105}^{\circ }\cdot \cos 5^{\circ }+\sin {105}^{\circ }\cdot \cos {85}^{\circ }}{\sin {195}^{\circ }\cdot \cos 5^{\circ }+\cos {195}^{\circ }\cdot \sin {185}^{\circ }}$$

б)

$$\frac{\sin {75}^{\circ }\cdot \cos 5^{\circ }-\cos {75}^{\circ }\cdot \cos {85}^{\circ }}{\cos {375}^{\circ }\cdot \cos 5^{\circ }-\sin {15}^{\circ }\cdot \sin {365}^{\circ }}$$

а)

$$\frac{\cos {105}^{\circ }\cdot \cos 5^{\circ }+\sin {105}^{\circ }\cdot \cos {85}^{\circ }}{\sin {195}^{\circ }\cdot \cos 5^{\circ }+\cos {195}^{\circ }\cdot \sin {185}^{\circ }}=$$

$$\frac{\cos 105^\circ \cdot \cos 5^\circ + \sin 105^\circ \cdot \cos 85^\circ}{\sin 195^\circ \cdot \cos 5^\circ + \cos 195^\circ \cdot \sin 185^\circ} =$$ $$=\frac{\cos ({90}^{\circ }+{15}^{\circ })\cdot \cos 5^{\circ }+\sin ({90}^{\circ }+{15}^{\circ })\cdot \cos ({90}^{\circ }-5^{\circ })}{\sin ({180}^{\circ }+{15}^{\circ })\cdot \cos 5^{\circ }+\cos ({180}^{\circ }+{15}^{\circ })\cdot \sin ({180}^{\circ }+5^{\circ })}=$$

$$= \frac{\cos(90^\circ + 15^\circ) \cdot \cos 5^\circ + \sin(90^\circ + 15^\circ) \cdot \cos(90^\circ — 5^\circ)}{\sin(180^\circ + 15^\circ) \cdot \cos 5^\circ + \cos(180^\circ + 15^\circ) \cdot \sin(180^\circ + 5^\circ)} =$$ $$=\frac{\cos (\frac{\pi }{2}+{15}^{\circ })\cdot \cos 5^{\circ }+\sin (\frac{\pi }{2}+{15}^{\circ })\cdot \cos (\frac{\pi }{2}-5^{\circ })}{\sin (\pi +{15}^{\circ })\cdot \cos 5^{\circ }+\cos (\pi +{15}^{\circ })\cdot \sin (\pi +5^{\circ })}=$$

$$= \frac{\cos\left(\frac{\pi}{2} + 15^\circ\right) \cdot \cos 5^\circ + \sin\left(\frac{\pi}{2} + 15^\circ\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2} — 5^\circ\right)}{\sin(\pi + 15^\circ) \cdot \cos 5^\circ + \cos(\pi + 15^\circ) \cdot \sin(\pi + 5^\circ)} =$$ $$=\frac{-\sin {15}^{\circ }\cdot \cos 5^{\circ }+\cos {15}^{\circ }\cdot \sin 5^{\circ }}{-\sin {15}^{\circ }\cdot \cos 5^{\circ }-\cos {15}^{\circ }\cdot (-\sin 5^{\circ })}=$$

$$= \frac{-\sin 15^\circ \cdot \cos 5^\circ + \cos 15^\circ \cdot \sin 5^\circ}{-\sin 15^\circ \cdot \cos 5^\circ — \cos 15^\circ \cdot (-\sin 5^\circ)} =$$ $$= \frac{\cos 15^\circ \cdot \sin 5^\circ — \sin 15^\circ \cdot \cos 5^\circ}{\cos 15^\circ \cdot \sin 5^\circ — \sin 15^\circ \cdot \cos 5^\circ} = 1;$$

Ответ: 1.

б)

$$\frac{\sin {75}^{\circ }\cdot \cos 5^{\circ }-\cos {75}^{\circ }\cdot \cos {85}^{\circ }}{\cos {375}^{\circ }\cdot \cos 5^{\circ }-\sin {15}^{\circ }\cdot \sin {365}^{\circ }}=$$

$$\frac{\sin 75^\circ \cdot \cos 5^\circ — \cos 75^\circ \cdot \cos 85^\circ}{\cos 375^\circ \cdot \cos 5^\circ — \sin 15^\circ \cdot \sin 365^\circ} =$$ $$=\frac{\sin ({90}^{\circ }-{15}^{\circ })\cdot \cos 5^{\circ }-\cos ({90}^{\circ }-{15}^{\circ })\cdot \cos ({90}^{\circ }-5^{\circ })}{\cos ({360}^{\circ }+{15}^{\circ })\cdot \cos 5^{\circ }-\sin {15}^{\circ }\cdot \sin ({360}^{\circ }+5^{\circ })}=$$

$$= \frac{\sin(90^\circ — 15^\circ) \cdot \cos 5^\circ — \cos(90^\circ — 15^\circ) \cdot \cos(90^\circ — 5^\circ)}{\cos(360^\circ + 15^\circ) \cdot \cos 5^\circ — \sin 15^\circ \cdot \sin(360^\circ + 5^\circ)} =$$ $$=\frac{\sin (\frac{\pi }{2}-{15}^{\circ })\cdot \cos 5^{\circ }-\cos (\frac{\pi }{2}-{15}^{\circ })\cdot \cos (\frac{\pi }{2}-5^{\circ })}{\cos (2\pi +{15}^{\circ })\cdot \cos 5^{\circ }-\sin {15}^{\circ }\cdot \sin (2\pi +5^{\circ })}=$$

$$= \frac{\sin\left(\frac{\pi}{2} — 15^\circ\right) \cdot \cos 5^\circ — \cos\left(\frac{\pi}{2} — 15^\circ\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2} — 5^\circ\right)}{\cos(2\pi + 15^\circ) \cdot \cos 5^\circ — \sin 15^\circ \cdot \sin(2\pi + 5^\circ)} =$$ $$= \frac{\cos 15^\circ \cdot \cos 5^\circ — \sin 15^\circ \cdot \sin 5^\circ}{\cos 15^\circ \cdot \cos 5^\circ — \sin 15^\circ \cdot \sin 5^\circ} = 1;$$

Ответ: 1.

а)

$$\frac{\cos 105^\circ \cdot \cos 5^\circ + \sin 105^\circ \cdot \cos 85^\circ}{\sin 195^\circ \cdot \cos 5^\circ + \cos 195^\circ \cdot \sin 185^\circ}$$

Шаг 1: Преобразуем числитель

Разберём каждую функцию:

• $\cos 105^\circ = \cos(90^\circ + 15^\circ) = -\sin 15^\circ$ (формула приведения, II четверть)
• $\cos 5^\circ$ — остаётся как есть
• $\sin 105^\circ = \sin(90^\circ + 15^\circ) = \cos 15^\circ$
• $\cos 85^\circ = \cos(90^\circ — 5^\circ) = \sin 5^\circ$

Подставим:

$$\text{Числитель} = \cos 105^\circ \cdot \cos 5^\circ + \sin 105^\circ \cdot \cos 85^\circ =$$ $$= (-\sin 15^\circ) \cdot \cos 5^\circ + \cos 15^\circ \cdot \sin 5^\circ$$

Шаг 2: Преобразуем знаменатель

• $\sin 195^\circ = \sin(180^\circ + 15^\circ) = -\sin 15^\circ$ (III четверть)
• $\cos 5^\circ$ — как есть
• $\cos 195^\circ = \cos(180^\circ + 15^\circ) = -\cos 15^\circ$
• $\sin 185^\circ = \sin(180^\circ + 5^\circ) = -\sin 5^\circ$

Подставим:

$$\text{Знаменатель} = (-\sin 15^\circ) \cdot \cos 5^\circ + (-\cos 15^\circ) \cdot (-\sin 5^\circ)$$

Считаем знаки:

$$= -\sin 15^\circ \cdot \cos 5^\circ + \cos 15^\circ \cdot \sin 5^\circ$$

Шаг 3: Записываем полную дробь

$$\frac{-\sin 15^\circ \cdot \cos 5^\circ + \cos 15^\circ \cdot \sin 5^\circ} {-\sin 15^\circ \cdot \cos 5^\circ + \cos 15^\circ \cdot \sin 5^\circ}$$

Знаменатель и числитель совпадают полностью ⇒ дробь равна 1:

Ответ: $\boxed{1}$

б)

$$\frac{\sin 75^\circ \cdot \cos 5^\circ — \cos 75^\circ \cdot \cos 85^\circ}{\cos 375^\circ \cdot \cos 5^\circ — \sin 15^\circ \cdot \sin 365^\circ}$$

Шаг 1: Преобразуем числитель

• $\sin 75^\circ = \sin(90^\circ — 15^\circ) = \cos 15^\circ$
• $\cos 5^\circ$ — остаётся
• $\cos 75^\circ = \cos(90^\circ — 15^\circ) = \sin 15^\circ$
• $\cos 85^\circ = \cos(90^\circ — 5^\circ) = \sin 5^\circ$

Подставим:

$$\text{Числитель} = \cos 15^\circ \cdot \cos 5^\circ — \sin 15^\circ \cdot \sin 5^\circ$$

Шаг 2: Преобразуем знаменатель

• $\cos 375^\circ = \cos(360^\circ + 15^\circ) = \cos 15^\circ$
• $\cos 5^\circ$ — без изменений
• $\sin 365^\circ = \sin(360^\circ + 5^\circ) = \sin 5^\circ$

Подставим:

$$\text{Знаменатель} = \cos 15^\circ \cdot \cos 5^\circ — \sin 15^\circ \cdot \sin 5^\circ$$

Шаг 3: Сравниваем

Числитель = Знаменатель

$$\Rightarrow \frac{\cos 15^\circ \cdot \cos 5^\circ — \sin 15^\circ \cdot \sin 5^\circ} {\cos 15^\circ \cdot \cos 5^\circ — \sin 15^\circ \cdot \sin 5^\circ} = 1$$

Ответ: $\boxed{1}$