ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 26.19 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а)

$$\frac{\mathrm{tg}{380}^{\circ }+\mathrm{tg}{25}^{\circ }}{\mathrm{tg}{225}^{\circ }+\mathrm{ctg}{290}^{\circ }\cdot \mathrm{ctg}{65}^{\circ }}$$

б)

$$\frac{\mathrm{tg}\frac{19\pi }{36}-\mathrm{tg}\frac{7\pi }{36}}{\sqrt{3}\mathrm{ctg}\frac{7\pi }{3}-\mathrm{ctg}\frac{\pi }{36}\cdot \mathrm{ctg}\frac{11\pi }{36}}$$

а)

$$\frac{\mathrm{tg}{380}^{\circ }+\mathrm{tg}{25}^{\circ }}{\mathrm{tg}{225}^{\circ }+\mathrm{ctg}{290}^{\circ }\cdot \mathrm{ctg}{65}^{\circ }}=$$

$$\frac{\operatorname{tg} 380^{\circ} + \operatorname{tg} 25^{\circ}}{\operatorname{tg} 225^{\circ} + \operatorname{ctg} 290^{\circ} \cdot \operatorname{ctg} 65^{\circ}} =$$ $$=\frac{\mathrm{tg}({360}^{\circ }+{20}^{\circ })+\mathrm{tg}{25}^{\circ }}{\mathrm{tg}({270}^{\circ }-{45}^{\circ })+\mathrm{ctg}({270}^{\circ }+{20}^{\circ })\cdot \mathrm{ctg}({90}^{\circ }-{25}^{\circ })}=$$

$$= \frac{\operatorname{tg}(360^{\circ} + 20^{\circ}) + \operatorname{tg} 25^{\circ}}{\operatorname{tg}(270^{\circ} — 45^{\circ}) + \operatorname{ctg}(270^{\circ} + 20^{\circ}) \cdot \operatorname{ctg}(90^{\circ} — 25^{\circ})} =$$ $$=\frac{\mathrm{tg}(2\pi +{20}^{\circ })+\mathrm{tg}{25}^{\circ }}{\mathrm{tg}(\frac{3\pi }{2}-{45}^{\circ })+\mathrm{ctg}(\frac{3\pi }{2}+{20}^{\circ })\cdot \mathrm{ctg}(\frac{\pi }{2}-{25}^{\circ })}=$$

$$= \frac{\operatorname{tg}\left(2\pi + 20^{\circ}\right) + \operatorname{tg} 25^{\circ}}{\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2} — 45^{\circ}\right) + \operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + 20^{\circ}\right) \cdot \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} — 25^{\circ}\right)} =$$ $$=\frac{\mathrm{tg}{20}^{\circ }+\mathrm{tg}{25}^{\circ }}{\mathrm{ctg}{45}^{\circ }-\mathrm{tg}{20}^{\circ }\cdot \mathrm{tg}{25}^{\circ }}=\frac{\mathrm{tg}{20}^{\circ }+\mathrm{tg}{25}^{\circ }}{1-\mathrm{tg}{20}^{\circ }\cdot \mathrm{tg}{25}^{\circ }}=$$

$$= \frac{\operatorname{tg} 20^{\circ} + \operatorname{tg} 25^{\circ}}{\operatorname{ctg} 45^{\circ} — \operatorname{tg} 20^{\circ} \cdot \operatorname{tg} 25^{\circ}} = \frac{\operatorname{tg} 20^{\circ} + \operatorname{tg} 25^{\circ}}{1 — \operatorname{tg} 20^{\circ} \cdot \operatorname{tg} 25^{\circ}} =$$ $$= \operatorname{tg}(20^{\circ} + 25^{\circ}) = \operatorname{tg} 45^{\circ} = \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = 1;$$

Ответ: $1$.

б)

$$\frac{\mathrm{tg}\frac{19\pi }{36}-\mathrm{tg}\frac{7\pi }{36}}{\sqrt{3}\mathrm{ctg}\frac{7\pi }{3}-\mathrm{ctg}\frac{\pi }{36}\cdot \mathrm{ctg}\frac{11\pi }{36}}=$$

$$\frac{\operatorname{tg} \frac{19\pi}{36} — \operatorname{tg} \frac{7\pi}{36}}{\sqrt{3} \operatorname{ctg} \frac{7\pi}{3} — \operatorname{ctg} \frac{\pi}{36} \cdot \operatorname{ctg} \frac{11\pi}{36}} =$$ $$=\frac{\mathrm{tg}\frac{19\pi }{36}-\mathrm{tg}\frac{7\pi }{36}}{\sqrt{3}\mathrm{ctg}(2\pi +\frac{\pi }{3})-\mathrm{ctg}(\frac{19\pi }{36}-\frac{\pi }{2})\cdot \mathrm{ctg}(\frac{\pi }{2}-\frac{7\pi }{36})}=$$

$$= \frac{\operatorname{tg} \frac{19\pi}{36} — \operatorname{tg} \frac{7\pi}{36}}{\sqrt{3} \operatorname{ctg}\left(2\pi + \frac{\pi}{3}\right) — \operatorname{ctg}\left(\frac{19\pi}{36} — \frac{\pi}{2}\right) \cdot \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} — \frac{7\pi}{36}\right)} =$$ $$=\frac{\mathrm{tg}\frac{19\pi }{36}-\mathrm{tg}\frac{7\pi }{36}}{\sqrt{3}\cdot \mathrm{ctg}\frac{\pi }{3}+\mathrm{tg}(\frac{\pi }{2}-\frac{19\pi }{36})\cdot \mathrm{tg}\frac{7\pi }{36}}=\frac{\mathrm{tg}\frac{19\pi }{36}-\mathrm{tg}\frac{7\pi }{36}}{\sqrt{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}+\mathrm{tg}\frac{19\pi }{36}\cdot \mathrm{tg}\frac{7\pi }{36}}=$$

$$= \frac{\operatorname{tg} \frac{19\pi}{36} — \operatorname{tg} \frac{7\pi}{36}}{\sqrt{3} \cdot \operatorname{ctg} \frac{\pi}{3} + \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} — \frac{19\pi}{36}\right) \cdot \operatorname{tg} \frac{7\pi}{36}} = \frac{\operatorname{tg} \frac{19\pi}{36} — \operatorname{tg} \frac{7\pi}{36}}{\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} + \operatorname{tg} \frac{19\pi}{36} \cdot \operatorname{tg} \frac{7\pi}{36}} =$$ $$= \frac{\operatorname{tg} \frac{19\pi}{36} — \operatorname{tg} \frac{7\pi}{36}}{1 + \operatorname{tg} \frac{19\pi}{36} \cdot \operatorname{tg} \frac{7\pi}{36}} = \operatorname{tg}\left(\frac{19\pi}{36} — \frac{7\pi}{36}\right) = \operatorname{tg} \frac{12\pi}{36} = \operatorname{tg} \frac{\pi}{3} = \sqrt{3};$$

Ответ: $\sqrt{3}$.

а)

$$\frac{\tan 380^\circ + \tan 25^\circ}{\tan 225^\circ + \cot 290^\circ \cdot \cot 65^\circ}$$

Шаг 1: Приведение углов в числителе

• $\tan 380^\circ = \tan(360^\circ + 20^\circ)$.
  Тангенс — функция периодическая с периодом $180^\circ$ (или $\pi$):

  $$\tan(360^\circ + 20^\circ) = \tan 20^\circ$$

• $\tan 25^\circ$ — остаётся как есть.

Числитель:

$$\tan 380^\circ + \tan 25^\circ = \tan 20^\circ + \tan 25^\circ$$

Шаг 2: Преобразование углов в знаменателе

Разберем по частям:

• $\tan 225^\circ = \tan(180^\circ + 45^\circ)$.
  Тангенс в III четверти:

  $$\tan(180^\circ + \alpha) = \tan \alpha \Rightarrow \tan 225^\circ = \tan 45^\circ = 1$$

• $\cot 290^\circ = \cot(270^\circ + 20^\circ)$.
  Котангенс — нечетная функция:

  $$\cot(270^\circ + \alpha) = -\tan \alpha \Rightarrow \cot 290^\circ = -\tan 20^\circ$$

• $\cot 65^\circ = \cot(90^\circ — 25^\circ) = \tan 25^\circ$

Теперь знаменатель:

$$\tan 225^\circ + \cot 290^\circ \cdot \cot 65^\circ = 1 + (-\tan 20^\circ) \cdot \tan 25^\circ = 1 — \tan 20^\circ \cdot \tan 25^\circ$$

Шаг 3: Подставим всё в дробь

$$\frac{\tan 20^\circ + \tan 25^\circ}{1 — \tan 20^\circ \cdot \tan 25^\circ}$$

Это — формула тангенса суммы:

$$\tan A + \tan B = \frac{\tan A + \tan B}{1 — \tan A \cdot \tan B} = \tan(A + B)$$

Считаем:

$$\tan(20^\circ + 25^\circ) = \tan 45^\circ = 1$$

Ответ: $\boxed{1}$

б)

$$\frac{\tan\left(\frac{19\pi}{36}\right) — \tan\left(\frac{7\pi}{36}\right)}{\sqrt{3} \cdot \cot\left(\frac{7\pi}{3}\right) — \cot\left(\frac{\pi}{36}\right) \cdot \cot\left(\frac{11\pi}{36}\right)}$$

Шаг 1: Упростим числитель

Числитель:

$$\tan\left(\frac{19\pi}{36}\right) — \tan\left(\frac{7\pi}{36}\right)$$

Оставим как есть, перейдём к знаменателю.

Шаг 2: Упростим знаменатель

Первая часть:

$$\cot\left(\frac{7\pi}{3}\right) = \cot\left(2\pi + \frac{\pi}{3}\right)$$

Котангенс — периодическая функция с периодом $\pi$, поэтому:

$$\cot\left(2\pi + \frac{\pi}{3}\right) = \cot\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{\tan\left(\frac{\pi}{3}\right)} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

Значит:

$$\sqrt{3} \cdot \cot\left(\frac{7\pi}{3}\right) = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 1$$

Вторая часть:

$$\cot\left(\frac{\pi}{36}\right) \cdot \cot\left(\frac{11\pi}{36}\right)$$

Преобразуем второй котангенс:

$$\frac{11\pi}{36} = \frac{\pi}{2} — \frac{7\pi}{36} \Rightarrow \cot\left(\frac{11\pi}{36}\right) = \cot\left(\frac{\pi}{2} — \frac{7\pi}{36}\right) = \tan\left(\frac{7\pi}{36}\right)$$

Также:

$$\cot\left(\frac{\pi}{36}\right) = \tan\left(\frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{36}\right) = \tan\left(\frac{17\pi}{36}\right)$$

Но даже без этого:

$$\cot\left(\frac{\pi}{36}\right) \cdot \cot\left(\frac{11\pi}{36}\right) = \tan\left(\frac{19\pi}{36} — \frac{\pi}{2}\right) \cdot \tan\left(\frac{7\pi}{36}\right)$$

Так в решении и сделано:

$$= \tan\left(\frac{\pi}{2} — \frac{19\pi}{36}\right) \cdot \tan\left(\frac{7\pi}{36}\right) = \tan\left(\frac{7\pi}{36}\right) \cdot \tan\left(\frac{19\pi}{36}\right)$$

Шаг 3: Подставим в знаменатель

$$1 + \tan\left(\frac{7\pi}{36}\right) \cdot \tan\left(\frac{19\pi}{36}\right)$$

Шаг 4: Итоговое выражение

$$\frac{\tan\left(\frac{19\pi}{36}\right) — \tan\left(\frac{7\pi}{36}\right)}{1 + \tan\left(\frac{19\pi}{36}\right) \cdot \tan\left(\frac{7\pi}{36}\right)}$$

Это — формула тангенса разности углов:

$$\tan A — \tan B = \frac{\tan A — \tan B}{1 + \tan A \cdot \tan B} = \tan(A — B)$$

Применим:

$$A = \frac{19\pi}{36}, \quad B = \frac{7\pi}{36} \Rightarrow A — B = \frac{12\pi}{36} = \frac{\pi}{3}$$

Тогда:

$$\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$$

Ответ: $\boxed{\sqrt{3}}$