ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 26.2 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Упростите выражения:

а) $\sin (\pi -t)$

б) $\cos (\frac{\pi }{2}+t)$

в) $\cos (2\pi +t)$

г) $\sin (\frac{3\pi }{2}-t)$

Упростить выражение:

а) $\sin(\pi — t) = \sin t$;

Определим знак функции:
$0 < t < \frac{\pi}{2};$
$\frac{\pi}{2} < \pi — t < \pi;$
$\sin(\pi — t) > 0;$

Ответ: $\sin t$.

б) $\cos\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = -\sin t$;

Определим знак функции:
$0 < t < \frac{\pi}{2};$
$\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{2} + t < \pi;$
$\cos\left(\frac{\pi}{2} + t\right) < 0;$

Ответ: $-\sin t$.

в) $\cos(2\pi + t) = \cos t$;

Определим знак функции:
$0 < t < \frac{\pi}{2};$
$2\pi < 2\pi + t < \frac{5\pi}{2};$
$\cos(2\pi + t) > 0;$

Ответ: $\cos t$.

г) $\sin\left(\frac{3\pi}{2} — t\right) = -\cos t$;

Определим знак функции:
$0 < t < \frac{\pi}{2};$
$\pi < \frac{3\pi}{2} — t < \frac{3\pi}{2};$
$\sin\left(\frac{3\pi}{2} — t\right) < 0;$

Ответ: $-\cos t$.

а) $\sin(\pi — t)$

Шаг 1: Используем формулу приведения

$$\sin(\pi — t) = \sin t$$

Это — формула приведения. Она гласит:

• $\sin(\pi — x) = \sin x$

Формула применяется, когда аргумент — $\pi — x$, а функция — синус. В этом случае функция не меняет знак.

Шаг 2: Определим знак выражения

Дано:

$$0 < t < \frac{\pi}{2}$$

Подставим в выражение:

$$\pi — t \Rightarrow \frac{\pi}{2} < \pi — t < \pi$$

Значит, угол $\pi — t$ лежит во второй четверти.

Во второй четверти:

• $\sin x > 0$

Также:

• $\sin t > 0$, так как $t$ в первой четверти.

Вывод:

$$\sin(\pi — t) = \sin t, \quad \text{оба значения положительные}$$

Ответ: $\sin t$

б) $\cos\left(\frac{\pi}{2} + t\right)$

Шаг 1: Используем формулу приведения

$$\cos\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = -\sin t$$

Формула:

• $\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x$

Это — стандартная формула приведения.

Шаг 2: Определим знак выражения

Условие:

$$0 < t < \frac{\pi}{2}$$

Следовательно:

$$\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{2} + t < \pi$$

То есть аргумент лежит во второй четверти.

Во второй четверти:

• $\cos x < 0$

Это подтверждает, что:

$$\cos\left(\frac{\pi}{2} + t\right) < 0$$

Также:

$$\sin t > 0 \quad \text{(так как } t \text{ в первой четверти)} \Rightarrow -\sin t < 0$$

Вывод:

$$\cos\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = -\sin t$$

Ответ: $-\sin t$

в) $\cos(2\pi + t)$

Шаг 1: Используем периодичность косинуса

$$\cos(2\pi + t) = \cos t$$

Это — свойство периодичности:

• $\cos(x + 2\pi) = \cos x$

(У косинуса период $2\pi$, поэтому выражение не меняется.)

Шаг 2: Определим знак

Дано:

$$0 < t < \frac{\pi}{2} \Rightarrow \cos t > 0$$

Проверим, где находится угол $2\pi + t$:

$$2\pi < 2\pi + t < \frac{5\pi}{2}$$

Это угол в первой четверти (если отбросить 1 полный круг).

• $\cos(2\pi + t) = \cos t > 0$

Вывод:

$$\cos(2\pi + t) = \cos t, \quad \text{оба значения положительные}$$

Ответ: $\cos t$

г) $\sin\left(\frac{3\pi}{2} — t\right)$

Шаг 1: Используем формулу приведения

$$\sin\left(\frac{3\pi}{2} — t\right) = -\cos t$$

Это — формула приведения:

• $\sin\left(\frac{3\pi}{2} — x\right) = -\cos x$

Функция меняется на косинус, знак минус, потому что:

• Отнимаем от угла $\frac{3\pi}{2}$, что соответствует четвёртой четверти, где синус отрицателен.

Шаг 2: Определим знак

Условие:

$$0 < t < \frac{\pi}{2}$$

Тогда:

$$\pi < \frac{3\pi}{2} — t < \frac{3\pi}{2}$$

Это означает, что аргумент лежит в третьей четверти.

В третьей четверти:

• $\sin x < 0$

Значит:

$$\sin\left(\frac{3\pi}{2} — t\right) < 0$$

Также:

$$\cos t > 0 \quad \Rightarrow \ -\cos t < 0$$

Вывод:

$$\sin\left(\frac{3\pi}{2} — t\right) = -\cos t$$

Ответ: $-\cos t$