ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 26.20 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Известно, что $\operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} — x\right) = 0{,}4$, $\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} + y\right) = -3$.

Вычислите:

а) $\operatorname{tg}(x + y)$;
б) $\operatorname{ctg}(x — y)$.

Известно, что $\operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} — x\right) = 0{,}4$ и $\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} + y\right) = -3$;

1) Значение функции $\operatorname{tg} x$:

$$\operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} — x\right) = \operatorname{tg} x = 0{,}4;$$ $$\operatorname{tg} x = \frac{4}{10} = \frac{2}{5};$$

2) Значение функции $\operatorname{tg} y$:

$$\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} + y\right) = -\operatorname{ctg} y = -3;$$ $$\operatorname{ctg} y = 3;$$ $$\operatorname{tg} y = \frac{1}{3};$$

а)

$$\operatorname{tg}(x + y) = \frac{\operatorname{tg} x + \operatorname{tg} y}{1 — \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{tg} y} = \frac{\frac{2}{5} + \frac{1}{3}}{1 — \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3}} = \left( \frac{6}{15} + \frac{5}{15} \right) : \left( \frac{15}{15} — \frac{2}{15} \right);$$ $$\operatorname{tg}(x + y) = \frac{11}{15} : \frac{13}{15} = \frac{11}{15} \cdot \frac{15}{13} = \frac{11}{13};$$

Ответ: $\frac{11}{13}$

б)

$$\operatorname{ctg}(x + y) = \frac{1}{\operatorname{tg}(x — y)} = \frac{1 + \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{tg} y}{\operatorname{tg} x — \operatorname{tg} y} = \frac{1 + \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3}}{\frac{2}{5} — \frac{1}{3}};$$ $$\operatorname{ctg}(x — y) = \left( \frac{15}{15} + \frac{2}{15} \right) : \left( \frac{6}{15} — \frac{5}{15} \right) = \frac{17}{15} : \frac{1}{15} = \frac{17}{15} \cdot \frac{15}{1} = 17;$$

Ответ: $17$.

Дано:

$$\operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} — x\right) = 0{,}4, \quad \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} + y\right) = -3$$

Найти:

1. $\operatorname{tg} x$
2. $\operatorname{tg} y$
3. $\operatorname{tg}(x + y)$
4. $\operatorname{ctg}(x — y)$

1) Найдём $\operatorname{tg} x$:

Дано:

$$\operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} — x\right) = 0{,}4$$

Формула приведения:

$$\operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} — x\right) = \operatorname{tg} x$$

Почему? Потому что:

$$\operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} — x\right) = -\operatorname{tg}(x — \frac{3\pi}{2}) = \operatorname{tg} x \quad \text{(используется стандартная формула приведения)}$$

Таким образом:

$$\operatorname{tg} x = 0{,}4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$$

2) Найдём $\operatorname{tg} y$:

Дано:

$$\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} + y\right) = -3$$

Формула приведения:

$$\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} + y\right) = -\operatorname{ctg} y$$

(Тангенс в II четверти: $\tan(\frac{\pi}{2} + y) = -\cot y$)

Следовательно:

$$-\operatorname{ctg} y = -3 \Rightarrow \operatorname{ctg} y = 3$$

Выразим $\operatorname{tg} y$ через обратную функцию:

$$\operatorname{tg} y = \frac{1}{\operatorname{ctg} y} = \frac{1}{3}$$

а) Найдём $\operatorname{tg}(x + y)$

Используем формулу суммы для тангенса:

$$\operatorname{tg}(x + y) = \frac{\operatorname{tg} x + \operatorname{tg} y}{1 — \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{tg} y}$$

Подставим:

$$\operatorname{tg}(x + y) = \frac{\frac{2}{5} + \frac{1}{3}}{1 — \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3}}$$

Приводим числитель к общему знаменателю:

$$\frac{2}{5} + \frac{1}{3} = \frac{6}{15} + \frac{5}{15} = \frac{11}{15}$$

Вычисляем знаменатель:

$$1 — \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3} = 1 — \frac{2}{15} = \frac{15}{15} — \frac{2}{15} = \frac{13}{15}$$

Выполняем деление:

$$\frac{11}{15} : \frac{13}{15} = \frac{11}{15} \cdot \frac{15}{13} = \frac{11}{13}$$

Ответ к а): $\boxed{\frac{11}{13}}$

б) Найдём $\operatorname{ctg}(x + y)$

Дано:

$$\operatorname{ctg}(x + y) = \frac{1}{\operatorname{tg}(x — y)}$$

Для этого найдём $\operatorname{tg}(x — y)$, используя формулу разности:

$$\operatorname{tg}(x — y) = \frac{\operatorname{tg} x — \operatorname{tg} y}{1 + \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{tg} y}$$

Подставим значения:

• $\operatorname{tg} x = \frac{2}{5}$
• $\operatorname{tg} y = \frac{1}{3}$

Найдём числитель:

$$\frac{2}{5} — \frac{1}{3} = \frac{6}{15} — \frac{5}{15} = \frac{1}{15}$$

Найдём знаменатель:

$$1 + \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3} = 1 + \frac{2}{15} = \frac{15}{15} + \frac{2}{15} = \frac{17}{15}$$

Считаем:

$$\operatorname{tg}(x — y) = \frac{\frac{1}{15}}{\frac{17}{15}} = \frac{1}{15} \cdot \frac{15}{17} = \frac{1}{17}$$

Следовательно:

$$\operatorname{ctg}(x + y) = \frac{1}{\operatorname{tg}(x — y)} = \frac{1}{\frac{1}{17}} = 17$$

Ответ к б): $\boxed{17}$