ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 26.23 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\sin^2(\pi + x) + \cos^2(2\pi — x) = 0$;

б) $\sin^2(\pi + x) + \cos^2(2\pi — x) = 1$

а) $\sin^2(\pi + x) + \cos^2(2\pi — x) = 0$;
$(- \sin x)^2 + (\cos x)^2 = 0$;
$\sin^2 x + \cos^2 x = 0$;
$1 = 0$;
Ответ: корней нет.

б) $\sin^2(\pi + x) + \cos^2(2\pi — x) = 1$;
$(- \sin x)^2 + (\cos x)^2 = 1$;
$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$;
$1 = 1$;
Ответ: любое число.

а) $\sin^2(\pi + x) + \cos^2(2\pi — x) = 0$

Шаг 1: Преобразуем каждую тригонометрическую функцию

Разберем $\sin(\pi + x)$

Из формулы синуса суммы:

$$\sin(\pi + x) = -\sin x$$

Пояснение:
$\sin(\pi + x)$ — это синус угла во второй четверти, он равен $-\sin x$, так как синус $\pi + x$ по формулам приведения даёт отрицательный синус исходного угла.

Тогда:

$$\sin^2(\pi + x) = (-\sin x)^2 = \sin^2 x$$

Теперь $\cos(2\pi — x)$

Используем формулу:

$$\cos(2\pi — x) = \cos x$$

Пояснение:
Косинус — функция чётная: $\cos(-x) = \cos x$.
И $2\pi — x$ — это угол, симметричный $x$ относительно оси 2π, так что $\cos(2\pi — x) = \cos x$.

Следовательно:

$$\cos^2(2\pi — x) = (\cos x)^2 = \cos^2 x$$

Шаг 2: Подставим в исходное уравнение

$$\sin^2(\pi + x) + \cos^2(2\pi — x) = \sin^2 x + \cos^2 x$$

Шаг 3: Используем основное тригонометрическое тождество

$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$

Шаг 4: Подставим это в уравнение

$$1 = 0$$

Шаг 5: Получаем противоречие

Утверждение «1 = 0» — ложное, а значит, уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет

б) $\sin^2(\pi + x) + \cos^2(2\pi — x) = 1$

Шаг 1: Повторим те же преобразования

$$\sin^2(\pi + x) = \sin^2 x \quad \text{(потому что } \sin(\pi + x) = -\sin x)$$ $$\cos^2(2\pi — x) = \cos^2 x \quad \text{(потому что } \cos(2\pi — x) = \cos x)$$

Шаг 2: Подставим в уравнение

$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$

Шаг 3: Это верно при любом $x$

Так как:

$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1 \quad \text{для любого действительного } x$$

Ответ: любое число