ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 26.24 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\sin\left(\frac{\pi}{2} + 2x\right) + \cos\left(\frac{\pi}{2} — 2x\right) = 0$;

б) $2 \sin(\pi — 3x) + \cos(2\pi — 3x) = 0$

а) $\sin\left(\frac{\pi}{2} + 2x\right) + \cos\left(\frac{\pi}{2} — 2x\right) = 0$;

$$\cos 2x + \sin 2x = 0 \quad | : \cos 2x;$$ $$1 + \operatorname{tg} 2x = 0;$$ $$\operatorname{tg} 2x = -1;$$ $$2x = -\arctg 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{\pi}{4} + \pi n\right) = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2};$$

Ответ: $-\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$.

б) $2 \sin(\pi — 3x) + \cos(2\pi — 3x) = 0$;

$$2 \sin 3x + \cos 3x = 0 \quad | : \cos 3x;$$ $$2 \operatorname{tg} 3x + 1 = 0;$$ $$2 \operatorname{tg} 3x = -1;$$ $$\operatorname{tg} 3x = -\frac{1}{2};$$ $$3x = -\arctg \frac{1}{2} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{3} \cdot \left(-\arctg \frac{1}{2} + \pi n\right) = -\frac{1}{3} \arctg \frac{1}{2} + \frac{\pi n}{3};$$

Ответ: $-\frac{1}{3} \arctg \frac{1}{2} + \frac{\pi n}{3}$.

а)

Решим уравнение:

$$\sin\left(\frac{\pi}{2} + 2x\right) + \cos\left(\frac{\pi}{2} — 2x\right) = 0$$

Шаг 1. Преобразуем тригонометрические выражения с помощью формул приведения.

Формула:

$$\sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos \alpha$$

Значит:

$$\sin\left(\frac{\pi}{2} + 2x\right) = \cos 2x$$

Формула:

$$\cos\left(\frac{\pi}{2} — \alpha\right) = \sin \alpha$$

Значит:

$$\cos\left(\frac{\pi}{2} — 2x\right) = \sin 2x$$

Шаг 2. Подставим преобразования в исходное уравнение:

$$\cos 2x + \sin 2x = 0$$

Шаг 3. Разделим обе части уравнения на $\cos 2x$, чтобы выразить через тангенс.

(Ограничение: $\cos 2x \ne 0$, рассмотрим позже.)

$$\frac{\cos 2x + \sin 2x}{\cos 2x} = \frac{0}{\cos 2x} \Rightarrow 1 + \tan 2x = 0$$

Шаг 4. Решим уравнение:

$$\tan 2x = -1$$

Общий вид решения для уравнения $\tan \theta = -1$:

$$\theta = -\arctan(1) + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Применим к нашему случаю:

$$2x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$$

Шаг 5. Разделим на 2, чтобы найти $x$:

$$x = \frac{1}{2} \left(-\frac{\pi}{4} + \pi n\right) = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$$

Шаг 6. Проверка на допустимость деления на $\cos 2x$:

Мы делили на $\cos 2x$, поэтому $\cos 2x \ne 0$. Проверим, при каких $2x$ это условие нарушается:

$$\cos 2x = 0 \Rightarrow 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$$

Проверим, входят ли такие $x$ в найденное решение. Подставим:

$$x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$$

Равенство:

$$-\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} \Rightarrow \frac{\pi n}{2} = \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi k}{2} \Rightarrow n = \frac{3}{4} + k$$

Но $n$ и $k$ — целые числа, а $n = \frac{3}{4} + k$ не даёт целое $n$.
Значит, пересечения нет, и деление было корректным.

Ответ к пункту (а):

$$\boxed{x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}}, \quad n \in \mathbb{Z}$$

б)

Решим уравнение:

$$2 \sin(\pi — 3x) + \cos(2\pi — 3x) = 0$$

Шаг 1. Преобразуем выражения с помощью формул приведения.

Формула:

$$\sin(\pi — \alpha) = \sin \alpha \Rightarrow \sin(\pi — 3x) = \sin 3x$$

Формула:

$$\cos(2\pi — \alpha) = \cos \alpha \Rightarrow \cos(2\pi — 3x) = \cos 3x$$

Шаг 2. Подставим преобразования в уравнение:

$$2 \sin 3x + \cos 3x = 0$$

Шаг 3. Разделим обе части на $\cos 3x$, чтобы выразить через тангенс.

(Сделаем позже проверку на $\cos 3x \ne 0$)

$$\frac{2 \sin 3x + \cos 3x}{\cos 3x} = 0 \Rightarrow 2 \tan 3x + 1 = 0$$

Шаг 4. Решим уравнение:

$$2 \tan 3x = -1 \Rightarrow \tan 3x = -\frac{1}{2}$$

Общий вид решения уравнения $\tan \theta = -\frac{1}{2}$:

$$\theta = -\arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n$$

Подставим в наш случай:

$$3x = -\arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n$$

Шаг 5. Найдём $x$, разделив на 3:

$$x = \frac{1}{3} \left(-\arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n\right) = -\frac{1}{3} \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \frac{\pi n}{3}$$

Шаг 6. Проверим корректность деления на $\cos 3x$.

$\cos 3x \ne 0 \Rightarrow 3x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k$

Из найденного выражения:

$$3x = -\arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n$$

Сравниваем:

$$-\arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow \pi(n — k) = \frac{\pi}{2} + \arctan\left(\frac{1}{2}\right) \Rightarrow n — k = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \arctan\left(\frac{1}{2}\right)$$

Правая часть — нецелое число, значит, решений, попадающих в недопустимые, нет.
Значит, деление корректно.

Ответ к пункту (б):

$$\boxed{x = -\frac{1}{3} \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \frac{\pi n}{3}}, \quad n \in \mathbb{Z}$$