ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 26.25 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а)

$$\cos (\frac{\pi }{2}-\frac{x}{2})-3\cos (\pi -\frac{x}{2})=0;$$

б)

$$\sqrt{3}\sin (\pi -\frac{x}{3})+3\sin (\frac{\pi }{2}-\frac{x}{3})=0$$

а)

$$\cos\left(\frac{\pi}{2} — \frac{x}{2}\right) — 3\cos\left(\pi — \frac{x}{2}\right) = 0;$$ $$\sin\frac{x}{2} — 3 \cdot \left(-\cos\frac{x}{2}\right) = 0;$$ $$\sin\frac{x}{2} + 3\cos\frac{x}{2} = 0 \quad \bigg| : \cos\frac{x}{2};$$ $$\tg\frac{x}{2} + 3 = 0;$$ $$\tg\frac{x}{2} = -3;$$ $$\frac{x}{2} = -\arctg 3 + \pi n;$$ $$x = 2 \cdot (-\arctg 3 + \pi n) = -2\arctg 3 + 2\pi n;$$ $$\text{Ответ: } -2\arctg 3 + 2\pi n.$$

б)

$$\sqrt{3}\sin\left(\pi — \frac{x}{3}\right) + 3\sin\left(\frac{\pi}{2} — \frac{x}{3}\right) = 0;$$ $$\sqrt{3}\sin\frac{x}{3} + 3\cos\frac{x}{3} = 0 \quad \bigg| : \cos\frac{x}{3};$$ $$\sqrt{3}\tg\frac{x}{3} + 3 = 0;$$ $$\sqrt{3}\tg\frac{x}{3} = -3;$$ $$\tg\frac{x}{3} = -\sqrt{3};$$ $$\frac{x}{3} = -\arctg\sqrt{3} + \pi n = -\frac{\pi}{3} + \pi n;$$ $$x = 3 \cdot \left(-\frac{\pi}{3} + \pi n\right) = -\pi + 3\pi n;$$ $$\text{Ответ: } -\pi + 3\pi n.$$

а)

$$\cos\left(\frac{\pi}{2} — \frac{x}{2}\right) — 3\cos\left(\pi — \frac{x}{2}\right) = 0$$

Шаг 1: Преобразуем косинусы с помощью тригонометрических формул:

Формула 1:

$$\cos\left(\frac{\pi}{2} — \alpha\right) = \sin\alpha$$

Формула 2:

$$\cos(\pi — \alpha) = -\cos\alpha$$

Подставляем:

$$\cos\left(\frac{\pi}{2} — \frac{x}{2} \right) = \sin\left( \frac{x}{2} \right)$$ $$\cos\left(\pi — \frac{x}{2} \right) = -\cos\left( \frac{x}{2} \right)$$

Подставляем в уравнение:

$$\sin\left( \frac{x}{2} \right) — 3 \cdot (-\cos\left( \frac{x}{2} \right)) = 0$$

Шаг 2: Упростим выражение:

$$\sin\frac{x}{2} + 3\cos\frac{x}{2} = 0$$

Шаг 3: Разделим обе части уравнения на $\cos\frac{x}{2}$, чтобы перейти к тангенсу.

Условие: $\cos\frac{x}{2} \ne 0$ (если $\cos\frac{x}{2} = 0$, это надо рассмотреть отдельно). Пока решаем при $\cos\frac{x}{2} \ne 0$:

$$\frac{\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}} + 3 = 0$$ $$\tg\frac{x}{2} + 3 = 0$$

Шаг 4: Решим уравнение:

$$\tg\frac{x}{2} = -3$$

Шаг 5: Найдём общее решение:

Общий вид решения уравнения $\tg\theta = a$:

$$\theta = \arctg a + \pi n$$

Значит:

$$\frac{x}{2} = \arctg(-3) + \pi n = -\arctg 3 + \pi n$$

Шаг 6: Умножим обе части на 2:

$$x = 2 \cdot (-\arctg 3 + \pi n) = -2\arctg 3 + 2\pi n$$

Ответ к пункту а:

$$\boxed{x = -2\arctg 3 + 2\pi n}, \quad n \in \mathbb{Z}$$

б)

$$\sqrt{3}\sin\left(\pi — \frac{x}{3}\right) + 3\sin\left(\frac{\pi}{2} — \frac{x}{3}\right) = 0$$

Шаг 1: Преобразуем каждую синус-функцию:

Формула 1:

$$\sin(\pi — \alpha) = \sin\alpha$$

Формула 2:

$$\sin\left(\frac{\pi}{2} — \alpha\right) = \cos\alpha$$

Применяем к каждому слагаемому:

$$\sqrt{3} \cdot \sin\left(\pi — \frac{x}{3} \right) = \sqrt{3} \cdot \sin\frac{x}{3}$$ $$3 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2} — \frac{x}{3} \right) = 3 \cdot \cos\frac{x}{3}$$

Шаг 2: Подставляем обратно в уравнение:

$$\sqrt{3} \cdot \sin\frac{x}{3} + 3 \cdot \cos\frac{x}{3} = 0$$

Шаг 3: Разделим обе части на $\cos\frac{x}{3}$:

(при $\cos\frac{x}{3} \ne 0$):

$$\frac{\sqrt{3} \cdot \sin\frac{x}{3}}{\cos\frac{x}{3}} + 3 = 0$$ $$\sqrt{3} \cdot \tg\frac{x}{3} + 3 = 0$$

Шаг 4: Решим уравнение:

$$\sqrt{3} \cdot \tg\frac{x}{3} = -3$$ $$\tg\frac{x}{3} = -\frac{3}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3}$$

Шаг 5: Общее решение:

$$\frac{x}{3} = \arctg(-\sqrt{3}) + \pi n = -\arctg\sqrt{3} + \pi n$$

Поскольку $\arctg\sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$, получаем:

$$\frac{x}{3} = -\frac{\pi}{3} + \pi n$$

Шаг 6: Умножим обе части на 3:

$$x = 3 \cdot \left(-\frac{\pi}{3} + \pi n\right) = -\pi + 3\pi n$$

Ответ к пункту б:

$$\boxed{x = -\pi + 3\pi n}, \quad n \in \mathbb{Z}$$