ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 26.26 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а)

$$\sin^2 x + \cos\left(\frac{\pi}{2} — x\right) \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2} — x\right) — 2\cos^2 x = 0;$$ $${}^{}$$б)

$$\sin^2 3x + 3\cos^2 3x — 4\sin\left(\frac{\pi}{2} + 3x\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2} + 3x\right) = 0;$$ $${}^{}$$в)

$$\sin^2 x + 2\sin(\pi — x) \cdot \cos x — 3\cos^2(2\pi — x) = 0;$$ $${}^{}$$г)

$${\sin }^2(2\pi -3x)+5\sin (\pi -3x)\cdot \cos 3x+4{\sin }^2(\frac{3\pi }{2}-3x)=0$$

а)

$$\sin^2 x + \cos\left(\frac{\pi}{2} — x\right) \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2} — x\right) — 2\cos^2 x = 0;$$ $$\sin^2 x + \sin x \cdot \cos x — 2\cos^2 x = 0 \quad | : \cos^2 x;$$ $$\tg^2 x + \tg x — 2 = 0;$$ $$y = \tg x;$$ $$y^2 + y — 2 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 9;$$ $$y_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2; \quad y_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1;$$ $$\tg x = -2; \quad x = -\arctg 2 + \pi n;$$ $$\tg x = 1; \quad x = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n;$$ $$\text{Ответ: } -\arctg 2 + \pi n; \quad \frac{\pi}{4} + \pi n.$$

б)

$$\sin^2 3x + 3\cos^2 3x — 4\sin\left(\frac{\pi}{2} + 3x\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2} + 3x\right) = 0;$$ $$\sin^2 3x — 4\cos 3x \cdot (-\sin 3x) + 3\cos^2 3x = 0;$$ $$\sin^2 3x + 4\cos 3x \cdot \sin 3x + 3\cos^2 3x = 0 \quad | : \cos^2 3x;$$ $$\tg^2 3x + 4\tg 3x + 3 = 0;$$ $$y = \tg 3x;$$ $$y^2 + 4y + 3 = 0;$$ $$D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 4;$$ $$y_1 = \frac{-4 — 2}{2} = -3; \quad y_2 = \frac{-4 + 2}{2} = -1;$$ $$\tg 3x = -3; \quad 3x = -\arctg 3 + \pi n; \quad x = -\frac{1}{3}\arctg 3 + \frac{\pi n}{3};$$ $$\tg 3x = -1; \quad 3x = -\arctg 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n; \quad x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3};$$ $$\text{Ответ: } -\frac{1}{3}\arctg 3 + \frac{\pi n}{3}; \quad -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}.$$

в)

$$\sin^2 x + 2\sin(\pi — x) \cdot \cos x — 3\cos^2(2\pi — x) = 0;$$ $$\sin^2 x + 2\sin x \cdot \cos x — 3\cos^2 x = 0 \quad | : \cos^2 x;$$ $$\tg^2 x + 2\tg x — 3 = 0;$$ $$y = \tg x;$$ $$y^2 + 2y — 3 = 0;$$ $$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 16;$$ $$y_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3; \quad y_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1;$$ $$\tg x = -3; \quad x = -\arctg 3 + \pi n;$$ $$\tg x = 1; \quad x = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n;$$ $$\text{Ответ: } -\arctg 3 + \pi n; \quad \frac{\pi}{4} + \pi n.$$

г)

$$\sin^2(2\pi — 3x) + 5\sin(\pi — 3x) \cdot \cos 3x + 4\sin^2\left(\frac{3\pi}{2} — 3x\right) = 0;$$ $$(-\sin 3x)^2 + 5\sin 3x \cdot \cos 3x + 4(-\cos 3x)^2 = 0;$$ $$\sin^2 3x + 5\sin 3x \cdot \cos 3x + 4\cos^2 3x = 0 \quad | : \cos^2 3x;$$ $$\tg^2 3x + 5\tg 3x + 4 = 0;$$ $$y = \tg 3x;$$ $$y^2 + 5y + 4 = 0;$$ $$D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 9;$$ $$y_1 = \frac{-5 — 3}{2} = -4; \quad y_2 = \frac{-5 + 3}{2} = -1;$$ $$\tg 3x = -4; \quad 3x = -\arctg 4 + \pi n; \quad x = -\frac{1}{3}\arctg 4 + \frac{\pi n}{3};$$ $$\tg 3x = -1; \quad 3x = -\arctg 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n; \quad x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3};$$ $$\text{Ответ: } -\frac{1}{3}\arctg 4 + \frac{\pi n}{3}; \quad -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}.$$

а)

$$\sin^2 x + \cos\left(\frac{\pi}{2} — x\right) \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2} — x\right) — 2\cos^2 x = 0$$

Шаг 1: Преобразуем по формулам приведения

• $\cos\left(\frac{\pi}{2} — x\right) = \sin x$
• $\sin\left(\frac{\pi}{2} — x\right) = \cos x$

Подставим:

$$\sin^2 x + \sin x \cdot \cos x — 2\cos^2 x = 0$$

Шаг 2: Поделим на $\cos^2 x$ (если $\cos x \ne 0$)

$$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\sin x \cdot \cos x}{\cos^2 x} — \frac{2\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$$ $$\tg^2 x + \tg x — 2 = 0$$

Шаг 3: Решим квадратное уравнение

Пусть $y = \tg x$, тогда:

$$y^2 + y — 2 = 0$$

Дискриминант:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$

Корни:

$$y_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2, \quad y_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1$$

Шаг 4: Найдём x

$\tg x = -2$

$$x = \arctg(-2) + \pi n = -\arctg 2 + \pi n$$

$\tg x = 1$

$$x = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Ответ:

$$x = -\arctg 2 + \pi n; \quad x = \frac{\pi}{4} + \pi n$$

б)

$$\sin^2 3x + 3\cos^2 3x — 4\sin\left(\frac{\pi}{2} + 3x\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2} + 3x\right) = 0$$

Шаг 1: Формулы приведения

• $\sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos \alpha$
• $\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin \alpha$

Подставим:

$$\sin^2 3x + 3\cos^2 3x — 4 \cdot \cos 3x \cdot (-\sin 3x) = 0$$ $$\sin^2 3x + 3\cos^2 3x + 4\sin 3x \cdot \cos 3x = 0$$

Шаг 2: Разделим на $\cos^2 3x$

$$\frac{\sin^2 3x}{\cos^2 3x} + 4\cdot\frac{\sin 3x}{\cos 3x} + 3 = 0$$ $$\tg^2 3x + 4\tg 3x + 3 = 0$$

Шаг 3: Решаем уравнение

Пусть $y = \tg 3x$

$$y^2 + 4y + 3 = 0$$ $$D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4$$ $$y_1 = \frac{-4 — 2}{2} = -3, \quad y_2 = \frac{-4 + 2}{2} = -1$$

Шаг 4: Находим x

$\tg 3x = -3$

$$3x = -\arctg 3 + \pi n \Rightarrow x = -\frac{1}{3}\arctg 3 + \frac{\pi n}{3}$$

$\tg 3x = -1$

$$3x = -\arctg 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n \Rightarrow x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$$

Ответ:

$$x = -\frac{1}{3}\arctg 3 + \frac{\pi n}{3}; \quad x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$$

в)

$$\sin^2 x + 2\sin(\pi — x)\cdot \cos x — 3\cos^2(2\pi — x) = 0$$

Шаг 1: Формулы приведения

• $\sin(\pi — x) = \sin x$
• $\cos(2\pi — x) = \cos x$

Подставим:

$$\sin^2 x + 2\sin x \cdot \cos x — 3\cos^2 x = 0$$

Шаг 2: Делим на $\cos^2 x$

$$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + 2\cdot \frac{\sin x}{\cos x} — 3 = 0 \Rightarrow \tg^2 x + 2\tg x — 3 = 0$$

Шаг 3: Решаем уравнение

Пусть $y = \tg x$

$$y^2 + 2y — 3 = 0$$ $$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 16$$ $$y_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3; \quad y_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1$$

Шаг 4: Находим x

1. $\tg x = -3 \Rightarrow x = -\arctg 3 + \pi n$
2. $\tg x = 1 \Rightarrow x = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$

Ответ:

$$x = -\arctg 3 + \pi n; \quad x = \frac{\pi}{4} + \pi n$$

г)

$$\sin^2(2\pi — 3x) + 5\sin(\pi — 3x) \cdot \cos 3x + 4\sin^2\left(\frac{3\pi}{2} — 3x\right) = 0$$

Шаг 1: Формулы приведения

• $\sin(2\pi — 3x) = -\sin 3x \Rightarrow \sin^2 = \sin^2 3x$
• $\sin(\pi — 3x) = \sin 3x$
• $\sin\left(\frac{3\pi}{2} — 3x\right) = -\cos 3x \Rightarrow \sin^2 = \cos^2 3x$

Подставим:

$$\sin^2 3x + 5\sin 3x \cdot \cos 3x + 4\cos^2 3x = 0$$

Шаг 2: Делим на $\cos^2 3x$

$$\frac{\sin^2 3x}{\cos^2 3x} + 5 \cdot \frac{\sin 3x}{\cos 3x} + 4 = 0 \Rightarrow \tg^2 3x + 5\tg 3x + 4 = 0$$

Шаг 3: Решаем уравнение

Пусть $y = \tg 3x$

$$y^2 + 5y + 4 = 0$$ $$D = 25 — 16 = 9$$ $$y_1 = \frac{-5 — 3}{2} = -4; \quad y_2 = \frac{-5 + 3}{2} = -1$$

Шаг 4: Находим x

1. $\tg 3x = -4 \Rightarrow 3x = -\arctg 4 + \pi n \Rightarrow x = -\frac{1}{3}\arctg 4 + \frac{\pi n}{3}$
2. $\tg 3x = -1 \Rightarrow 3x = -\arctg 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n \Rightarrow x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$

Ответ:

$$x = -\frac{1}{3}\arctg 4 + \frac{\pi n}{3}; \quad x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$$