ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 26.27 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $3 \sin^2 \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} \cdot \sin \left( \frac{\pi}{2} — \frac{x}{2} \right) = 2$;

б) $2 \cos^2 \frac{x}{2} — 3 \sin \left( \pi — \frac{x}{2} \right) \cdot \cos \left( 2 \pi — \frac{x}{2} \right) + 7 \sin^2 \frac{x}{2} = 3$;

в) $4 \cos^2 \left( \frac{\pi}{2} + x \right) + \sqrt{3} \sin \left( \frac{3\pi}{2} — x \right) \cdot \sin (\pi + x) + 3 \cos^2 (\pi + x) = 3$;

г) $3 \sin^2 \left( x — \frac{3\pi}{2} \right) — 2 \cos \left( \frac{3\pi}{2} + x \right) \cdot \cos (\pi + x) + 2 \sin^2 (x — \pi) = 2$

а) $3 \sin^2 \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} \cdot \sin \left( \frac{\pi}{2} — \frac{x}{2} \right) = 2$;
$\mathrm{}$$3 \sin^2 \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} = 2 \sin^2 \frac{x}{2} + 2 \cos^2 \frac{x}{2}$;
$\sin^2 \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} — 2 \cos^2 \frac{x}{2} = 0 \quad | : \cos^2 \frac{x}{2}$;
$\operatorname{tg}^2 \frac{x}{2} + \operatorname{tg} \frac{x}{2} — 2 = 0$;

Пусть $y = \operatorname{tg} \frac{x}{2}$, тогда:
$y^2 + y — 2 = 0$;
$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$, тогда:
$y_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2$ и $y_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1$;

Первое значение:
$\operatorname{tg} \frac{x}{2} = -2$;
$\frac{x}{2} = -\arctg 2 + \pi n$;
$x = -2 \arctg 2 + 2 \pi n$;

Второе значение:
$\operatorname{tg} \frac{x}{2} = 1$;
$\frac{x}{2} = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$;
$x = \frac{\pi}{2} + 2 \pi n$;

Ответ: $-2 \arctg 2 + 2 \pi n; \frac{\pi}{2} + 2 \pi n$.

б) $2 \cos^2 \frac{x}{2} — 3 \sin \left( \pi — \frac{x}{2} \right) \cdot \cos \left( 2 \pi — \frac{x}{2} \right) + 7 \sin^2 \frac{x}{2} = 3$;
$\mathrm{}$$7 \sin^2 \frac{x}{2} — 3 \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} + 2 \cos^2 \frac{x}{2} = 3 \sin^2 \frac{x}{2} + 3 \cos^2 \frac{x}{2}$;
$4 \sin^2 \frac{x}{2} — 3 \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} — \cos^2 \frac{x}{2} = 0 \quad | : \cos^2 \frac{x}{2}$;
$4 \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2} — 3 \operatorname{tg} \frac{x}{2} — 1 = 0$;

Пусть $y = \operatorname{tg} \frac{x}{2}$, тогда:
$4y^2 — 3y — 1 = 0$;
$D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25$, тогда:
$y_1 = \frac{3 — 5}{2 \cdot 4} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$;
$y_2 = \frac{3 + 5}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$;

Первое значение:
$\operatorname{tg} \frac{x}{2} = -\frac{1}{4}$;
$\frac{x}{2} = -\arctg \frac{1}{4} + \pi n$;
$x = -2 \arctg \frac{1}{4} + 2 \pi n$;

Второе значение:
$\operatorname{tg} \frac{x}{2} = 1$;
$\frac{x}{2} = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$;
$x = \frac{\pi}{2} + 2 \pi n$;

Ответ: $-2 \arctg \frac{1}{4} + 2 \pi n; \frac{\pi}{2} + 2 \pi n$.

в) $4 \cos^2 \left( \frac{\pi}{2} + x \right) + \sqrt{3} \sin \left( \frac{3\pi}{2} — x \right) \cdot \sin (\pi + x) + 3 \cos^2 (\pi + x) = 3$;
$\mathrm{}$$4 (-\sin x)^2 + \sqrt{3} \cdot (-\cos x) \cdot (-\sin x) + 3 (-\cos x)^2 = 3$;
$4 \sin^2 x + \sqrt{3} \sin x \cdot \cos x + 3 \cos^2 x = 3 \sin^2 x + 3 \cos^2 x$;
$\sin^2 x + \sqrt{3} \sin x \cdot \cos x = 0 \quad | : \cos^2 x$;
$\operatorname{tg}^2 x + \sqrt{3} \operatorname{tg} x = 0$;
$\operatorname{tg} x \cdot (\operatorname{tg} x + \sqrt{3}) = 0$;

Первое уравнение:
$\operatorname{tg} x = 0$;
$x = \arctg 0 + \pi n = \pi n$;

Второе уравнение:
$\operatorname{tg} x + \sqrt{3} = 0$;
$\operatorname{tg} x = -\sqrt{3}$;
$x = -\arctg \sqrt{3} + \pi n = -\frac{\pi}{3} + \pi n$;

Ответ: $\pi n; -\frac{\pi}{3} + \pi n$.

г) $3 \sin^2 \left( x — \frac{3\pi}{2} \right) — 2 \cos \left( \frac{3\pi}{2} + x \right) \cdot \cos (\pi + x) + 2 \sin^2 (x — \pi) = 2$;
$\mathrm{}$$3 \sin^2 \left( \frac{3\pi}{2} — x \right) — 2 \sin x \cdot (-\cos x) + 2 \sin^2 x = 2 \sin^2 x + 2 \cos^2 x$;
$\cos^2 x + 2 \sin x \cdot \cos x = 0 \quad | : \sin^2 x$;
$\operatorname{ctg}^2 x + 2 \operatorname{ctg} x = 0$;
$\operatorname{ctg} x \cdot (\operatorname{ctg} x + 2) = 0$;

Первое уравнение:
$\operatorname{ctg} x = 0$;
$x = \operatorname{arcctg} 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n$;

Второе уравнение:
$\operatorname{ctg} x + 2 = 0$;
$\operatorname{ctg} x = -2$;
$\operatorname{tg} x = \frac{1}{2}$;
$x = -\arctg \frac{1}{2} + \pi n$;

Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi n; -\arctg \frac{1}{2} + \pi n$.

а)

$$3 \sin^2 \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2} — \frac{x}{2}\right) = 2$$

Шаг 1. Применим формулы приведения

Воспользуемся тригонометрическим тождеством:

$$\sin\left(\frac{\pi}{2} — \theta\right) = \cos \theta \quad \Rightarrow \quad \sin\left(\frac{\pi}{2} — \frac{x}{2}\right) = \cos \frac{x}{2}$$

Подставим в уравнение:

$$3 \sin^2 \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} = 2$$

Шаг 2. Перенесём всё в одну сторону

Приведём правую часть к выражению:

$$2 = 2 \sin^2 \frac{x}{2} + 2 \cos^2 \frac{x}{2}$$

Тогда:

$$3 \sin^2 \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} — \left(2 \sin^2 \frac{x}{2} + 2 \cos^2 \frac{x}{2} \right) = 0$$

Раскроем скобки:

$$3 \sin^2 \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} — 2 \sin^2 \frac{x}{2} — 2 \cos^2 \frac{x}{2} = 0$$

Соберём подобные:

$$\sin^2 \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} — 2 \cos^2 \frac{x}{2} = 0$$

Шаг 3. Разделим на $\cos^2 \frac{x}{2}$

Если $\cos \frac{x}{2} \ne 0$, поделим на $\cos^2 \frac{x}{2}$:

$$\frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}} + \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} — 2 = 0 \Rightarrow \tg^2 \frac{x}{2} + \tg \frac{x}{2} — 2 = 0$$

Шаг 4. Решим квадратное уравнение

Пусть $y = \tg \frac{x}{2}$:

$$y^2 + y — 2 = 0$$

Найдём дискриминант:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$

Корни:

$$y_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2, \quad y_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1$$

Шаг 5. Найдём $x$

Для $y = \tg \frac{x}{2} = -2$:

$$\frac{x}{2} = -\arctg 2 + \pi n \Rightarrow x = -2 \arctg 2 + 2\pi n$$

Для $y = \tg \frac{x}{2} = 1$:

$$\frac{x}{2} = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Ответ (а):

$$\boxed{x = -2 \arctg 2 + 2\pi n; \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n}$$

б)

$$2 \cos^2 \frac{x}{2} — 3 \sin\left( \pi — \frac{x}{2} \right) \cdot \cos\left(2\pi — \frac{x}{2} \right) + 7 \sin^2 \frac{x}{2} = 3$$

Шаг 1. Формулы приведения

• $\sin(\pi — \theta) = \sin \theta$
• $\cos(2\pi — \theta) = \cos \theta$

Тогда:

$$\sin\left( \pi — \frac{x}{2} \right) = \sin \frac{x}{2}, \quad \cos\left(2\pi — \frac{x}{2} \right) = \cos \frac{x}{2}$$

Подставим:

$$2 \cos^2 \frac{x}{2} — 3 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + 7 \sin^2 \frac{x}{2} = 3$$

Шаг 2. Преобразуем

В правой части снова тождество:

$$3 = 3 \sin^2 \frac{x}{2} + 3 \cos^2 \frac{x}{2}$$

Вычитаем:

$$(7 \sin^2 \frac{x}{2} — 3 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + 2 \cos^2 \frac{x}{2}) — (3 \sin^2 \frac{x}{2} + 3 \cos^2 \frac{x}{2}) = 0$$

Упрощаем:

$$4 \sin^2 \frac{x}{2} — 3 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} — \cos^2 \frac{x}{2} = 0$$

Шаг 3. Делим на $\cos^2 \frac{x}{2}$

$$4 \tg^2 \frac{x}{2} — 3 \tg \frac{x}{2} — 1 = 0$$

Шаг 4. Решим квадратное уравнение

Пусть $y = \tg \frac{x}{2}$:

$$4y^2 — 3y — 1 = 0 \Rightarrow D = (-3)^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25$$ $$y_1 = \frac{3 — 5}{8} = -\frac{1}{4}, \quad y_2 = \frac{3 + 5}{8} = 1$$

Шаг 5. Найдём $x$

$\tg \frac{x}{2} = -\frac{1}{4} \Rightarrow x = -2 \arctg \frac{1}{4} + 2\pi n$

$\tg \frac{x}{2} = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

Ответ (б):

$$\boxed{x = -2 \arctg \frac{1}{4} + 2\pi n; \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n}$$

в)

$$4 \cos^2\left( \frac{\pi}{2} + x \right) + \sqrt{3} \sin\left( \frac{3\pi}{2} — x \right) \cdot \sin(\pi + x) + 3 \cos^2 (\pi + x) = 3$$

Шаг 1. Приведём аргументы

• $\cos\left( \frac{\pi}{2} + x \right) = -\sin x \Rightarrow \cos^2 = \sin^2$
• $\sin\left( \frac{3\pi}{2} — x \right) = -\cos x$
• $\sin(\pi + x) = -\sin x$
• $\cos(\pi + x) = -\cos x \Rightarrow \cos^2 = \cos^2$

Подставим:

$$4 \sin^2 x + \sqrt{3} \cdot (-\cos x)(-\sin x) + 3 \cos^2 x = 3 \Rightarrow 4 \sin^2 x + \sqrt{3} \sin x \cos x + 3 \cos^2 x = 3$$

Шаг 2. Упростим

Правую часть представим как:

$$3 = 3 \sin^2 x + 3 \cos^2 x$$

Тогда:

$$(4 \sin^2 x + \sqrt{3} \sin x \cos x + 3 \cos^2 x) — (3 \sin^2 x + 3 \cos^2 x) = 0 \Rightarrow \sin^2 x + \sqrt{3} \sin x \cos x = 0$$

Шаг 3. Делим на $\cos^2 x$

$$\tg^2 x + \sqrt{3} \tg x = 0 \Rightarrow \tg x (\tg x + \sqrt{3}) = 0$$

Шаг 4. Найдём $x$

1. $\tg x = 0 \Rightarrow x = \pi n$
2. $\tg x = -\sqrt{3} \Rightarrow x = -\arctg \sqrt{3} + \pi n = -\frac{\pi}{3} + \pi n$

Ответ (в):

$$\boxed{x = \pi n; \quad x = -\frac{\pi}{3} + \pi n}$$

г)

$$3 \sin^2\left( x — \frac{3\pi}{2} \right) — 2 \cos\left( \frac{3\pi}{2} + x \right) \cdot \cos(\pi + x) + 2 \sin^2(x — \pi) = 2$$

Шаг 1. Приведём аргументы

• $\sin\left(x — \frac{3\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2} — x\right) = \cos x \Rightarrow \sin^2 = \cos^2$
• $\cos\left( \frac{3\pi}{2} + x \right) = \sin x$
• $\cos(\pi + x) = -\cos x$
• $\sin(x — \pi) = -\sin x \Rightarrow \sin^2 = \sin^2$

Подставим:

$$3 \cos^2 x — 2 \sin x \cdot (-\cos x) + 2 \sin^2 x = 2 \Rightarrow 3 \cos^2 x + 2 \sin x \cos x + 2 \sin^2 x = 2$$

Шаг 2. Упростим

$2 = 2 \cos^2 x + 2 \sin^2 x$, тогда:

$$(3 \cos^2 x + 2 \sin x \cos x + 2 \sin^2 x) — (2 \cos^2 x + 2 \sin^2 x) = 0 \Rightarrow \cos^2 x + 2 \sin x \cos x = 0$$

Шаг 3. Делим на $\sin^2 x$

$$\ctg^2 x + 2 \ctg x = 0 \Rightarrow \ctg x (\ctg x + 2) = 0$$

Шаг 4. Найдём $x$

1. $\ctg x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n$
2. $\ctg x = -2 \Rightarrow \tg x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = -\arctg \frac{1}{2} + \pi n$

Ответ (г):

$$\boxed{x = \frac{\pi}{2} + \pi n; \quad x = -\arctg \frac{1}{2} + \pi n}$$