ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 26.28 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $2 \sin^2(\pi + x) — 5 \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) + 2 = 0$

б) $2 \cos^2 x + 5 \cos\left(\frac{\pi}{2} — x\right) — 4 = 0$

в) $2 \cos^2 x + \sin\left(\frac{\pi}{2} — x\right) — 1 = 0$

г) $5-5\sin 3(\pi -x)={\cos }^2(\pi -3x)$

а) $2 \sin^2(\pi + x) — 5 \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) + 2 = 0$

Преобразуем:

$$2(-\sin x)^2 — 5(-\sin x) + 2 = 0$$ $$2 \sin^2 x + 5 \sin x + 2 = 0$$

Пусть $y = \sin x$, тогда:

$$2y^2 + 5y + 2 = 0$$

Найдем дискриминант:

$$D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9$$

Корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-5 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$$ $$y_2 = \frac{-5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$

Первое значение:

$$\sin x = -2 \quad \text{(корней нет)}$$

Второе значение:

$$\sin x = -\frac{1}{2}$$ $$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Ответ: $(-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$.

б) $2 \cos^2 x + 5 \cos\left(\frac{\pi}{2} — x\right) — 4 = 0$

Преобразуем:

$$2 \cos^2 x + 5 \sin x — 4 = 0$$ $$2(1 — \sin^2 x) + 5 \sin x — 4 = 0$$ $$2 — 2 \sin^2 x + 5 \sin x — 4 = 0$$ $$2 \sin^2 x — 5 \sin x + 2 = 0$$

Пусть $y = \sin x$, тогда:

$$2y^2 — 5y + 2 = 0$$

Найдем дискриминант:

$$D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9$$

Корни уравнения:

$$y_1 = \frac{5 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ $$y_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$$

Первое значение:

$$\sin x = \frac{1}{2}$$ $$x = (-1)^n \cdot \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Второе значение:

$$\sin x = 2 \quad \text{(корней нет)}$$

Ответ: $(-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$.

в) $2 \cos^2 x + \sin\left(\frac{\pi}{2} — x\right) — 1 = 0$

Преобразуем:

$$2 \cos^2 x + \cos x — 1 = 0$$

Пусть $y = \cos x$, тогда:

$$2y^2 + y — 1 = 0$$

Найдем дискриминант:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$$

Корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-1 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$$ $$y_2 = \frac{-1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

Первое значение:

$$\cos x = -1$$ $$x = \pi + 2\pi n$$

Второе значение:

$$\cos x = \frac{1}{2}$$ $$x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Ответ: $\pi + 2\pi n; \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

г) $5 — 5 \sin 3(\pi — x) = \cos^2(\pi — 3x)$

Преобразуем:

$$5 — 5 \sin(3\pi — 3x) = \cos^2(3x)$$ $$5 — 5 \sin 3x = \cos^2 3x$$ $$5 — 5 \sin 3x = 1 — \sin^2 3x$$ $$\sin^2 3x — 5 \sin 3x + 4 = 0$$

Пусть $y = \sin 3x$, тогда:

$$y^2 — 5y + 4 = 0$$

Найдем дискриминант:

$$D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9$$

Корни уравнения:

$$y_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4$$

Первое значение:

$$\sin 3x = 1$$ $$3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$ $$x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$$

Второе значение:

$$\sin 3x = 4 \quad \text{(корней нет)}$$

Ответ: $\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$.

а)

Уравнение:

$$2 \sin^2(\pi + x) — 5 \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) + 2 = 0$$

Шаг 1: Используем тригонометрические тождества

• $\sin(\pi + x) = -\sin x$
  (Синус в III четверти, знак отрицательный)
• $\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x$
  (Формула приведения: $\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x$)

Подставим в уравнение:

$$2(-\sin x)^2 — 5(-\sin x) + 2 = 0$$

Шаг 2: Упрощаем выражения

• $(- \sin x)^2 = \sin^2 x$
• $-5(-\sin x) = 5 \sin x$

Получаем:

$$2 \sin^2 x + 5 \sin x + 2 = 0$$

Шаг 3: Замена переменной

Обозначим:

$$y = \sin x \Rightarrow 2y^2 + 5y + 2 = 0$$

Шаг 4: Решим квадратное уравнение

Найдём дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9$$

Корни:

$$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем:

$$y_1 = \frac{-5 — 3}{4} = \frac{-8}{4} = -2$$ $$y_2 = \frac{-5 + 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$

Шаг 5: Возвращаемся к переменной $\sin x$

• $\sin x = -2$ — не имеет решений, т.к. $\sin x \in [-1, 1]$
• $\sin x = -\frac{1}{2}$ — допустимое значение

Шаг 6: Решим уравнение $\sin x = -\frac{1}{2}$

Общее решение уравнения:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n$$

Почему так?

• $\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$
• Общее решение уравнения $\sin x = a$ имеет вид:

  $$x = (-1)^n \arcsin a + \pi n$$

• У нас $a = -\frac{1}{2}$, поэтому:

  $$\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$$

  Подставляем:

  $$x = (-1)^n \cdot \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Ответ (а):

$$\boxed{x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n}$$

б)

Уравнение:

$$2 \cos^2 x + 5 \cos\left(\frac{\pi}{2} — x\right) — 4 = 0$$

Шаг 1: Преобразуем по формулам приведения

$$\cos\left(\frac{\pi}{2} — x\right) = \sin x$$

Подставим:

$$2 \cos^2 x + 5 \sin x — 4 = 0$$

Шаг 2: Выразим всё через $\sin x$

$$\cos^2 x = 1 — \sin^2 x \Rightarrow 2(1 — \sin^2 x) + 5 \sin x — 4 = 0$$

Раскроем скобки:

$$2 — 2\sin^2 x + 5 \sin x — 4 = 0$$

Соберём:

$$-2 \sin^2 x + 5 \sin x — 2 = 0$$

Умножим на $-1$ (для удобства):

$$2 \sin^2 x — 5 \sin x + 2 = 0$$

Шаг 3: Замена переменной

$$y = \sin x \Rightarrow 2y^2 — 5y + 2 = 0$$

Шаг 4: Найдём дискриминант и корни

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9$$ $$y_1 = \frac{5 — 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \quad y_2 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$$

Шаг 5: Решения

• $\sin x = 2$ — невозможно
• $\sin x = \frac{1}{2}$

Шаг 6: Решим $\sin x = \frac{1}{2}$

$$\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} \Rightarrow x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Ответ (б):

$$\boxed{x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n}$$

в)

Уравнение:

$$2 \cos^2 x + \sin\left(\frac{\pi}{2} — x\right) — 1 = 0$$

Шаг 1: Используем формулу:

$$\sin\left(\frac{\pi}{2} — x\right) = \cos x \Rightarrow 2 \cos^2 x + \cos x — 1 = 0$$

Шаг 2: Замена переменной

$$y = \cos x \Rightarrow 2y^2 + y — 1 = 0$$

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение

$$D = 1^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$$ $$y_1 = \frac{-1 — 3}{4} = -1 \quad y_2 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2}$$

Шаг 4: Возвращаемся к $\cos x$

1. $\cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2\pi n$
2. $\cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

Ответ (в):

$$\boxed{x = \pi + 2\pi n;\quad x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n}$$

г)

Уравнение:

$$5 — 5 \sin 3(\pi — x) = \cos^2(\pi — 3x)$$

Шаг 1: Используем тождества

• $\sin(3(\pi — x)) = \sin(3\pi — 3x) = -\sin 3x$
• $\cos^2(\pi — 3x) = \cos^2(3x)$

Подставим:

$$5 — 5(-\sin 3x) = \cos^2(3x) \Rightarrow 5 + 5 \sin 3x = \cos^2 3x$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$5 \sin 3x — \cos^2 3x + 5 = 0 \Rightarrow 5 \sin 3x + (5 — \cos^2 3x) = 0$$

Но проще сразу перейти к:

$$5 + 5 \sin 3x = \cos^2 3x \Rightarrow \cos^2 3x = 1 — \sin^2 3x \Rightarrow 5 + 5 \sin 3x = 1 — \sin^2 3x$$

Переносим всё в одну часть:

$$\sin^2 3x + 5 \sin 3x + 5 — 1 = 0 \Rightarrow \sin^2 3x + 5 \sin 3x + 4 = 0$$

Шаг 2: Замена переменной

$$y = \sin 3x \Rightarrow y^2 + 5y + 4 = 0$$

Шаг 3: Решаем уравнение

$$y^2 — 5y + 4 = 0 \Rightarrow D = 25 — 16 = 9 \Rightarrow y_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1,\quad y_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4$$

Шаг 4: Решения

• $\sin 3x = 1 \Rightarrow 3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$
• $\sin 3x = 4$ — невозможно

Ответ (г):

$$\boxed{x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}}$$