ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 26.29 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а)

$$2{\mathrm{tg}}^{2}2x+3\mathrm{tg}(\pi +2x)=0;$$

б)

$${\mathrm{tg}}^{2}3x-6\mathrm{ctg}(\frac{\pi }{2}-3x)=0$$

а)

$$2 \operatorname{tg}^2 2x + 3 \operatorname{tg}(\pi + 2x) = 0;$$ $$2 \operatorname{tg}^2 2x + 3 \operatorname{tg} 2x = 0;$$ $$\operatorname{tg} 2x \cdot (2 \operatorname{tg} 2x + 3) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\operatorname{tg} 2x = 0;$$ $$2x = \operatorname{arctg} 0 + \pi n = \pi n;$$ $$x = \frac{\pi n}{2};$$

Второе уравнение:

$$2 \operatorname{tg} 2x + 3 = 0;$$ $$2 \operatorname{tg} 2x = -3;$$ $$\operatorname{tg} 2x = -\frac{3}{2};$$ $$2x = -\operatorname{arctg} \frac{3}{2} + \pi n;$$ $$x = -\frac{1}{2} \operatorname{arctg} \frac{3}{2} + \frac{\pi n}{2};$$

Ответ:

$$\frac{\pi n}{2};\quad -\frac{1}{2} \operatorname{arctg} \frac{3}{2} + \frac{\pi n}{2}.$$

б)

$$\operatorname{tg}^2 3x — 6 \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} — 3x\right) = 0;$$ $$\operatorname{tg}^2 3x — 6 \operatorname{tg} 3x = 0;$$ $$\operatorname{tg} 3x \cdot (\operatorname{tg} 3x — 6) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\operatorname{tg} 3x = 0;$$ $$3x = \operatorname{arctg} 0 + \pi n = \pi n;$$ $$x = \frac{\pi n}{3};$$

Второе значение:

$$\operatorname{tg} 3x — 6 = 0;$$ $$\operatorname{tg} 3x = 6;$$ $$3x = \operatorname{arctg} 6 + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{3} \operatorname{arctg} 6 + \frac{\pi n}{3};$$

Ответ:

$$\frac{\pi n}{3};\quad \frac{1}{3} \operatorname{arctg} 6 + \frac{\pi n}{3}.$$

а)

Дано:

$$2 \operatorname{tg}^2(2x) + 3 \operatorname{tg}(\pi + 2x) = 0$$

Шаг 1. Используем тригонометрическое тождество:

$$\operatorname{tg}(\pi + \alpha) = \operatorname{tg} \alpha$$

Поскольку тангенс — периодическая функция с периодом $\pi$, то:

$$\operatorname{tg}(\pi + 2x) = \operatorname{tg}(2x)$$

Шаг 2. Подставим в уравнение:

$$2 \operatorname{tg}^2(2x) + 3 \operatorname{tg}(2x) = 0$$

Шаг 3. Вынесем общий множитель $\operatorname{tg}(2x)$:

$$\operatorname{tg}(2x) \cdot (2 \operatorname{tg}(2x) + 3) = 0$$

Шаг 4. Получаем два простых уравнения:

Первый случай:

$$\operatorname{tg}(2x) = 0$$

Решаем:

$$2x = \operatorname{arctg}(0) + \pi n = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{2},\quad n \in \mathbb{Z}$$

Второй случай:

$$2 \operatorname{tg}(2x) + 3 = 0 \Rightarrow \operatorname{tg}(2x) = -\frac{3}{2}$$

Решаем:

$$2x = \operatorname{arctg}\left(-\frac{3}{2}\right) + \pi n \Rightarrow 2x = -\operatorname{arctg}\left(\frac{3}{2}\right) + \pi n$$

(Тангенс — нечетная функция: $\operatorname{arctg}(-a) = -\operatorname{arctg}(a)$)

Делим обе части на 2:

$$x = -\frac{1}{2} \operatorname{arctg}\left(\frac{3}{2}\right) + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ (а):

$$\boxed{x = \frac{\pi n}{2};\quad x = -\frac{1}{2} \operatorname{arctg} \left(\frac{3}{2}\right) + \frac{\pi n}{2}}$$

б)

Дано:

$$\operatorname{tg}^2(3x) — 6 \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} — 3x\right) = 0$$

Шаг 1. Используем тождество:

$$\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} — \alpha\right) = \operatorname{tg}(\alpha)$$

Значит:

$$\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} — 3x\right) = \operatorname{tg}(3x)$$

Шаг 2. Подставим в уравнение:

$$\operatorname{tg}^2(3x) — 6 \operatorname{tg}(3x) = 0$$

Шаг 3. Вынесем общий множитель $\operatorname{tg}(3x)$:

$$\operatorname{tg}(3x) \cdot (\operatorname{tg}(3x) — 6) = 0$$

Шаг 4. Решим полученные уравнения:

Первый случай:

$$\operatorname{tg}(3x) = 0 \Rightarrow 3x = \operatorname{arctg}(0) + \pi n = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{3}$$

Второй случай:

$$\operatorname{tg}(3x) = 6 \Rightarrow 3x = \operatorname{arctg}(6) + \pi n \Rightarrow x = \frac{1}{3} \operatorname{arctg}(6) + \frac{\pi n}{3}$$

Ответ (б):

$$\boxed{x = \frac{\pi n}{3};\quad x = \frac{1}{3} \operatorname{arctg}(6) + \frac{\pi n}{3}}$$