ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 26.3 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Упростите выражения:

а) $\cos ({90}^{\circ }-a)$

б) $\sin ({360}^{\circ }-a)$

в) $\sin ({270}^{\circ }+a)$

г) $\cos ({180}^{\circ }+a)$

Упростить выражение:

а) $\cos(90^\circ — a) = \cos\left(\frac{\pi}{2} — a\right) = \sin a$;

Определим знак функции:

$$0 < a < \frac{\pi}{2};$$ $$0 < \frac{\pi}{2} — a < \frac{\pi}{2};$$ $$\cos\left(\frac{\pi}{2} — a\right) > 0;$$

Ответ: $\sin a$.

б) $\sin(360^\circ — a) = \sin(2\pi — a) = -\sin a$;

Определим знак функции:

$$0 < a < \frac{\pi}{2};$$ $$\frac{3\pi}{2} < 2\pi — a \leqslant 2\pi;$$ $$\sin(2\pi — a) < 0;$$

Ответ: $-\sin a$.

в) $\sin(270^\circ + a) = \sin\left(\frac{3\pi}{2} + a\right) = -\cos a$;

Определим знак функции:

$$0 < a < \frac{\pi}{2};$$ $$\frac{3\pi}{2} < \frac{3\pi}{2} + a < 2\pi;$$ $$\sin\left(\frac{3\pi}{2} + a\right) < 0;$$

Ответ: $-\cos a$.

г) $\cos(180^\circ + a) = \cos(\pi + a) = -\cos a$;

Определим знак функции:

$$0 < a < \frac{\pi}{2};$$ $$\pi < \pi + a < \frac{3\pi}{2};$$ $$\cos(\pi + a) < 0;$$

Ответ: $-\cos a$.

а) $\cos(90^\circ — a) = \cos\left(\frac{\pi}{2} — a\right)$

Шаг 1: Переводим градусы в радианы

$$90^\circ = \frac{\pi}{2}$$

Значит:

$$\cos(90^\circ — a) = \cos\left(\frac{\pi}{2} — a\right)$$

Шаг 2: Используем формулу приведения

$$\cos\left(\frac{\pi}{2} — a\right) = \sin a$$

Это стандартная формула приведения:

• $\cos\left(\frac{\pi}{2} — x\right) = \sin x$

Поскольку $x = a$, получаем:

$$\cos\left(\frac{\pi}{2} — a\right) = \sin a$$

Шаг 3: Определим знак функции

Условие:

$$0 < a < \frac{\pi}{2} \Rightarrow 0 < \frac{\pi}{2} — a < \frac{\pi}{2}$$

Значит, угол $\frac{\pi}{2} — a$ лежит в первой четверти.

В первой четверти:

• $\cos x > 0$
• $\sin x > 0$

Значит:

$$\cos\left(\frac{\pi}{2} — a\right) > 0 \quad \text{и} \quad \sin a > 0$$

Ответ: $\sin a$

б) $\sin(360^\circ — a) = \sin(2\pi — a)$

Шаг 1: Переводим градусы в радианы

$$360^\circ = 2\pi$$

Значит:

$$\sin(360^\circ — a) = \sin(2\pi — a)$$

Шаг 2: Используем формулу приведения

$$\sin(2\pi — a) = -\sin a$$

Формула:

• $\sin(2\pi — x) = -\sin x$

Это связано с тем, что синус нечетная функция, и угол $2\pi — x$ попадает в четвертую четверть, где синус отрицателен.

Шаг 3: Определим знак функции

Условие:

$$0 < a < \frac{\pi}{2} \Rightarrow \frac{3\pi}{2} < 2\pi — a < 2\pi$$

Значит, угол $2\pi — a$ лежит в четвертой четверти.

В четвёртой четверти:

• $\sin x < 0$

Также:

• $\sin a > 0 \Rightarrow -\sin a < 0$

Ответ: $-\sin a$

в) $\sin(270^\circ + a) = \sin\left(\frac{3\pi}{2} + a\right)$

Шаг 1: Переводим градусы в радианы

$$270^\circ = \frac{3\pi}{2}$$

Значит:

$$\sin(270^\circ + a) = \sin\left(\frac{3\pi}{2} + a\right)$$

Шаг 2: Используем формулу приведения

$$\sin\left(\frac{3\pi}{2} + a\right) = -\cos a$$

Формула:

• $\sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\cos x$

Это связано с тем, что:

• $\sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right)$ превращается в $-\cos x$, и знак минус появляется из-за того, что синус в четвёртой четверти отрицателен.

Шаг 3: Определим знак функции

Условие:

$$0 < a < \frac{\pi}{2} \Rightarrow \frac{3\pi}{2} < \frac{3\pi}{2} + a < 2\pi$$

Значит, аргумент лежит в четвёртой четверти.

В четвёртой четверти:

• $\sin x < 0$

Также:

• $\cos a > 0 \Rightarrow -\cos a < 0$

Ответ: $-\cos a$

г) $\cos(180^\circ + a) = \cos(\pi + a)$

Шаг 1: Переводим градусы в радианы

$$180^\circ = \pi$$

Значит:

$$\cos(180^\circ + a) = \cos(\pi + a)$$

Шаг 2: Используем формулу приведения

$$\cos(\pi + a) = -\cos a$$

Формула:

• $\cos(\pi + x) = -\cos x$

Это потому, что при добавлении $x$ к $\pi$, мы попадаем в третью четверть, где косинус отрицателен.

Шаг 3: Определим знак функции

Условие:

$$0 < a < \frac{\pi}{2} \Rightarrow \pi < \pi + a < \frac{3\pi}{2}$$

Значит, угол $\pi + a$ лежит в третьей четверти.

В третьей четверти:

• $\cos x < 0$

Также:

• $\cos a > 0 \Rightarrow -\cos a < 0$

Ответ: $-\cos a$