ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 26.33 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите неравенство:

а)

$$\frac{\sin {50}^{\circ }+\cos {50}^{\circ }}{\sqrt{2}\cdot \sin {85}^{\circ }}=1;$$

б)

$$\frac{\cos {40}^{\circ }-\sqrt{3}\sin {40}^{\circ }}{\sin {190}^{\circ }}=2$$

а)

$$\frac{\sin {50}^{\circ }+\cos {50}^{\circ }}{\sqrt{2}\cdot \sin {85}^{\circ }}=1;$$

$$\frac{\sin 50^\circ + \cos 50^\circ}{\sqrt{2} \cdot \sin 85^\circ} = 1;$$ $$\frac{\sin ({45}^{\circ }+5^{\circ })+\cos ({45}^{\circ }+5^{\circ })}{\sqrt{2}\cdot \sin ({90}^{\circ }-5^{\circ })}=1;$$

$$\frac{\sin(45^\circ + 5^\circ) + \cos(45^\circ + 5^\circ)}{\sqrt{2} \cdot \sin(90^\circ — 5^\circ)} = 1;$$ $$\frac{(\sin {45}^{\circ }\cdot \cos 5^{\circ }+\sin 5^{\circ }\cdot \cos {45}^{\circ })+(\cos {45}^{\circ }\cdot \cos 5^{\circ }-\sin {45}^{\circ }\cdot \sin 5^{\circ })}{\sqrt{2}\cdot \cos 5^{\circ }}=1;$$

$$\frac{(\sin 45^\circ \cdot \cos 5^\circ + \sin 5^\circ \cdot \cos 45^\circ) + (\cos 45^\circ \cdot \cos 5^\circ — \sin 45^\circ \cdot \sin 5^\circ)}{\sqrt{2} \cdot \cos 5^\circ} = 1;$$ $$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \cos 5^{\circ }+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \sin 5^{\circ }+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \cos 5^{\circ }-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \sin 5^{\circ }}{\sqrt{2}\cdot \cos 5^{\circ }}=1;$$

$$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos 5^\circ + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin 5^\circ + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos 5^\circ — \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin 5^\circ}{\sqrt{2} \cdot \cos 5^\circ} = 1;$$ $$\frac{\sqrt{2}\cdot \cos 5^{\circ }}{\sqrt{2}\cdot \cos 5^{\circ }}=1;$$

$$\frac{\sqrt{2} \cdot \cos 5^\circ}{\sqrt{2} \cdot \cos 5^\circ} = 1;$$ $$1 = 1;$$

Равенство доказано.

б)

$$\frac{\cos {40}^{\circ }-\sqrt{3}\sin {40}^{\circ }}{\sin {190}^{\circ }}=2;$$

$$\frac{\cos 40^\circ — \sqrt{3} \sin 40^\circ}{\sin 190^\circ} = 2;$$ $$\frac{\cos {40}^{\circ }-\mathrm{tg}{60}^{\circ }\cdot \sin {40}^{\circ }}{\sin ({90}^{\circ }+{100}^{\circ })}=2;$$

$$\frac{\cos 40^\circ — \operatorname{tg} 60^\circ \cdot \sin 40^\circ}{\sin(90^\circ + 100^\circ)} = 2;$$ $$\frac{\cos {40}^{\circ }-\frac{\sin {60}^{\circ }}{\cos {60}^{\circ }}\cdot \sin {40}^{\circ }}{\sin (\frac{\pi }{2}+{100}^{\circ })}=2;$$

$$\frac{\cos 40^\circ — \frac{\sin 60^\circ}{\cos 60^\circ} \cdot \sin 40^\circ}{\sin\left(\frac{\pi}{2} + 100^\circ\right)} = 2;$$ $$\frac{\cos {40}^{\circ }\cdot \cos {60}^{\circ }-\sin {60}^{\circ }\cdot \sin {40}^{\circ }}{\cos {60}^{\circ }\cdot \cos {100}^{\circ }}=2;$$

$$\frac{\cos 40^\circ \cdot \cos 60^\circ — \sin 60^\circ \cdot \sin 40^\circ}{\cos 60^\circ \cdot \cos 100^\circ} = 2;$$ $$\frac{\cos ({40}^{\circ }+{60}^{\circ })}{\cos {60}^{\circ }\cdot \cos {100}^{\circ }}=2;$$

$$\frac{\cos(40^\circ + 60^\circ)}{\cos 60^\circ \cdot \cos 100^\circ} = 2;$$ $$\frac{\cos {100}^{\circ }}{\cos {60}^{\circ }\cdot \cos {100}^{\circ }}=2;$$

$$\frac{\cos 100^\circ}{\cos 60^\circ \cdot \cos 100^\circ} = 2;$$ $$\frac{1}{\cos {60}^{\circ }}=2;$$

$$\frac{1}{\cos 60^\circ} = 2;$$ $$2 = 2;$$

Равенство доказано.

а) Доказать, что:

$$\frac{\sin 50^\circ + \cos 50^\circ}{\sqrt{2} \cdot \sin 85^\circ} = 1$$

Шаг 1. Представим углы через 45°

Поскольку:

$$50^\circ = 45^\circ + 5^\circ, \quad 85^\circ = 90^\circ — 5^\circ$$

Запишем выражение в следующем виде:

$$\frac{\sin(45^\circ + 5^\circ) + \cos(45^\circ + 5^\circ)}{\sqrt{2} \cdot \sin(90^\circ — 5^\circ)}$$

Шаг 2. Применим формулы суммы углов:

Формула суммы синуса:

$$\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$$

Формула суммы косинуса:

$$\cos(a + b) = \cos a \cos b — \sin a \sin b$$

Подставим:

$$\sin(45^\circ + 5^\circ) = \sin 45^\circ \cdot \cos 5^\circ + \cos 45^\circ \cdot \sin 5^\circ$$ $$\cos(45^\circ + 5^\circ) = \cos 45^\circ \cdot \cos 5^\circ — \sin 45^\circ \cdot \sin 5^\circ$$

Шаг 3. Подставим значения синуса и косинуса 45°

$$\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Тогда числитель:

$$\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos 5^\circ + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin 5^\circ \right) + \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos 5^\circ — \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin 5^\circ \right)$$

Раскроем скобки и приведём подобные:

$$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos 5^\circ + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin 5^\circ + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos 5^\circ — \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin 5^\circ$$

Слагаемые с $\sin 5^\circ$ сокращаются:

$$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos 5^\circ + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos 5^\circ = \sqrt{2} \cdot \cos 5^\circ$$

Шаг 4. Разберём знаменатель

$$\sqrt{2} \cdot \sin(90^\circ — 5^\circ) = \sqrt{2} \cdot \cos 5^\circ$$

(так как $\sin(90^\circ — x) = \cos x$)

Шаг 5. Подставим всё обратно

$$\frac{\sqrt{2} \cdot \cos 5^\circ}{\sqrt{2} \cdot \cos 5^\circ} = 1$$

Вывод:

$$1 = 1 \Rightarrow \text{Равенство доказано.}$$

б) Доказать, что:

$$\frac{\cos 40^\circ — \sqrt{3} \cdot \sin 40^\circ}{\sin 190^\circ} = 2$$

Шаг 1. Преобразуем знаменатель

$$\sin 190^\circ = \sin(180^\circ + 10^\circ) = -\sin 10^\circ$$

Так как синус в III четверти отрицательный.

Шаг 2. Заменим $\sqrt{3}$ через тангенс:

$$\tan 60^\circ = \frac{\sin 60^\circ}{\cos 60^\circ} = \sqrt{3}$$

Подставим:

$$\cos 40^\circ — \sqrt{3} \cdot \sin 40^\circ = \cos 40^\circ — \tan 60^\circ \cdot \sin 40^\circ$$

Шаг 3. Представим тангенс как дробь

$$\tan 60^\circ = \frac{\sin 60^\circ}{\cos 60^\circ} \Rightarrow \cos 40^\circ — \frac{\sin 60^\circ}{\cos 60^\circ} \cdot \sin 40^\circ$$

Общий знаменатель:

$$\frac{\cos 40^\circ \cdot \cos 60^\circ — \sin 60^\circ \cdot \sin 40^\circ}{\cos 60^\circ}$$

Шаг 4. Разложим числитель по формуле косинуса суммы:

$$\cos a \cdot \cos b — \sin a \cdot \sin b = \cos(a + b)$$

Значит:

$$\cos 40^\circ \cdot \cos 60^\circ — \sin 60^\circ \cdot \sin 40^\circ = \cos(40^\circ + 60^\circ) = \cos 100^\circ$$

Шаг 5. Заменим знаменатель

Мы выяснили:

$$\sin 190^\circ = -\sin 10^\circ = -\cos 80^\circ = -\cos(180^\circ — 100^\circ) = -\cos 100^\circ$$

Поэтому:

$$\frac{\cos 100^\circ}{\cos 60^\circ \cdot \cos 100^\circ} = \frac{1}{\cos 60^\circ}$$

Шаг 6. Посчитаем $\cos 60^\circ$

$$\cos 60^\circ = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$$

Вывод:

$$2 = 2 \Rightarrow \text{Равенство доказано.}$$