ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 26.34 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что:

а) $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}, \quad x \in [-1; 1]$;

б) $\arctg x + \arcctg x = \frac{\pi}{2}, \quad x \in \mathbb{R}$

Доказать, что:

а) $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}, \quad x \in [-1; 1]$;

$$\arcsin x = \frac{\pi}{2} — \arccos x;$$

Оба значения принадлежат I или IV четверти:

$$-\frac{\pi}{2} \leq \arcsin x \leq \frac{\pi}{2};$$ $$0 \leq \arccos x \leq \pi;$$ $$-\frac{\pi}{2} \leq \frac{\pi}{2} — \arccos x \leq \frac{\pi}{2};$$

Значит, достаточно доказать следующее равенство:

$$\sin(\arcsin x) = \sin\left(\frac{\pi}{2} — \arccos x\right);$$ $$\sin(\arcsin x) = \cos(\arccos x);$$ $$x = x;$$

Что и требовалось доказать.

б) $\arctg x + \arcctg x = \frac{\pi}{2}, \quad x \in \mathbb{R}$;

$$\arctg x = \frac{\pi}{2} — \arcctg x;$$

Оба значения принадлежат I или IV четверти:

$$-\frac{\pi}{2} \leq \arctg x \leq \frac{\pi}{2};$$ $$0 \leq \arcctg x \leq \pi;$$ $$-\frac{\pi}{2} \leq \frac{\pi}{2} — \arcctg x \leq \frac{\pi}{2};$$

Значит, достаточно доказать следующее равенство:

$$\tg(\arctg x) = \tg\left(\frac{\pi}{2} — \arcctg x\right);$$ $$\tg(\arctg x) = \ctg(\arcctg x);$$ $$x = x;$$

Что и требовалось доказать.

Доказать:

а) $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}, \quad x \in [-1; 1]$

Шаг 1: Определения арксинуса и арккосинуса

• $\arcsin x$ — это такое число $y$, что $\sin y = x$ и $y \in \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]$.
• $\arccos x$ — это такое число $z$, что $\cos z = x$ и $z \in [0, \pi]$.

Шаг 2: Предположение, которое надо доказать

Хотим доказать, что:

$$\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$$

или, эквивалентно:

$$\arcsin x = \frac{\pi}{2} — \arccos x$$

Шаг 3: Анализ области значений

Убедимся, что правая часть формулы тоже лежит в допустимой области значений $\arcsin x$:

• $\arccos x \in [0, \pi]$, поэтому:

  $$\frac{\pi}{2} — \arccos x \in \left[ \frac{\pi}{2} — \pi, \frac{\pi}{2} — 0 \right] = \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]$$

  — а это как раз область значений функции $\arcsin x$.

Значит, выражение $\arcsin x = \frac{\pi}{2} — \arccos x$ корректно по области определения и значений.

Шаг 4: Докажем равенство по тригонометрии

Рассмотрим левую и правую части выражения:

$$\arcsin x = \frac{\pi}{2} — \arccos x$$

Воспользуемся обратным действием — подставим обе части в функцию $\sin$:

Левая часть:

$$\sin(\arcsin x) = x$$

Правая часть:

$$\sin\left( \frac{\pi}{2} — \arccos x \right)$$

Применим формулу:

$$\sin\left( \frac{\pi}{2} — \theta \right) = \cos \theta$$

Тогда:

$$\sin\left( \frac{\pi}{2} — \arccos x \right) = \cos(\arccos x) = x$$

Итак, обе части равны $x$, следовательно:

$$\sin(\arcsin x) = \sin\left( \frac{\pi}{2} — \arccos x \right) \Rightarrow \arcsin x = \frac{\pi}{2} — \arccos x$$

(так как обе стороны лежат в $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, где функция $\sin$ строго возрастающая ⇒ обратимая).

Итог:

$$\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}, \quad \text{при } x \in [-1; 1]$$

Что и требовалось доказать.

б) $\arctg x + \arcctg x = \frac{\pi}{2}, \quad x \in \mathbb{R}$

Шаг 1: Определения арктангенса и арккотангенса

• $\arctg x$ — это такое число $y$, что $\tg y = x$, и $y \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$.
• $\arcctg x$ — это такое число $z$, что $\ctg z = x$, и $z \in (0, \pi)$.

Шаг 2: Предположение, которое надо доказать

Хотим доказать:

$$\arctg x + \arcctg x = \frac{\pi}{2}$$

или:

$$\arctg x = \frac{\pi}{2} — \arcctg x$$

Шаг 3: Проверим допустимость подстановки

$\arcctg x \in (0, \pi)$, тогда:

$$\frac{\pi}{2} — \arcctg x \in \left( \frac{\pi}{2} — \pi, \frac{\pi}{2} — 0 \right) = \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$$

— что входит в область значений $\arctg x$.

Шаг 4: Подставим в тригонометрические функции

Левая часть:

$$\tg(\arctg x) = x$$

Правая часть:

$$\tg\left( \frac{\pi}{2} — \arcctg x \right)$$

Используем формулу:

$$\tg\left( \frac{\pi}{2} — \theta \right) = \ctg \theta$$

Тогда:

$$\tg\left( \frac{\pi}{2} — \arcctg x \right) = \ctg(\arcctg x) = x$$

Значит:

$$\tg(\arctg x) = \tg\left( \frac{\pi}{2} — \arcctg x \right)$$

И поскольку обе стороны лежат в интервале $\left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$, где $\tg$ строго возрастающая и обратимая:

$$\arctg x = \frac{\pi}{2} — \arcctg x \Rightarrow \arctg x + \arcctg x = \frac{\pi}{2}$$

Итог:

$$\arctg x + \arcctg x = \frac{\pi}{2}, \quad \text{при } x \in \mathbb{R}$$

Что и требовалось доказать.