ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 26.35 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $\arcsin (\sin \frac{2\pi }{5})$

б) $\arccos (\sin \frac{2\pi }{5})$

в) $\arcsin (\sin (-\frac{2\pi }{5}))$

г) $\arccos (\cos (-\frac{2\pi }{5}))$

а) $\arcsin\left(\sin\frac{2\pi}{5}\right) = \frac{2\pi}{5}$;
Ответ: $\frac{2\pi}{5}$.

б) $\arccos\left(\sin\frac{2\pi}{5}\right) = \arccos\left(\sin\left(\frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{10}\right)\right) = \arccos\left(\cos\frac{\pi}{10}\right) = \frac{\pi}{10}$;
Ответ: $\frac{\pi}{10}$.

в) $\arcsin\left(\sin\left(-\frac{2\pi}{5}\right)\right) = \arcsin\left(-\sin\frac{2\pi}{5}\right) = -\arcsin\left(\sin\frac{2\pi}{5}\right) = -\frac{2\pi}{5}$;
Ответ: $-\frac{2\pi}{5}$.

г) $\arccos\left(\cos\left(-\frac{2\pi}{5}\right)\right) = \arccos\left(\cos\frac{2\pi}{5}\right) = \frac{2\pi}{5}$;
Ответ: $\frac{2\pi}{5}$.

а) $\arcsin\left(\sin\frac{2\pi}{5}\right)$

Шаг 1: Определим значение

$$\frac{2\pi}{5} \approx 1.257\ \text{рад}$$

Шаг 2: Область значений функции $\arcsin x$

• Функция $\arcsin x$ определена на отрезке $x \in [-1, 1]$.
• Значения самой функции $\arcsin x$ лежат в отрезке:

$$\left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] \approx [-1.571, 1.571]$$

Шаг 3: Проверим, входит ли $\frac{2\pi}{5}$ в область значений $\arcsin$

• Да, $\frac{2\pi}{5} \in \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]$
• Функции $\arcsin$ и $\sin$ взаимно обратны на этой области.

Шаг 4: Прямое применение свойства обратной функции

$$\arcsin(\sin x) = x, \quad \text{если } x \in \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]$$

Значит:

$$\arcsin\left(\sin\frac{2\pi}{5}\right) = \frac{2\pi}{5}$$

Ответ: $\frac{2\pi}{5}$

б) $\arccos\left(\sin\frac{2\pi}{5}\right)$

Шаг 1: Преобразуем синус

$$\sin\left( \frac{2\pi}{5} \right) = \sin\left( \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{10} \right)$$

Это — стандартное тригонометрическое тождество:

$$\sin\left( \frac{\pi}{2} — x \right) = \cos x$$

Значит:

$$\sin\left( \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{10} \right) = \cos\left( \frac{\pi}{10} \right)$$

Шаг 2: Подставим в исходное выражение

$$\arccos\left( \sin\frac{2\pi}{5} \right) = \arccos\left( \cos\frac{\pi}{10} \right)$$

Шаг 3: Воспользуемся свойством обратной функции

$$\arccos(\cos x) = x, \quad \text{если } x \in [0, \pi]$$

• $\frac{\pi}{10} \in [0, \pi]$, следовательно:

$$\arccos(\cos\frac{\pi}{10}) = \frac{\pi}{10}$$

Ответ: $\frac{\pi}{10}$

в) $\arcsin\left(\sin\left(-\frac{2\pi}{5}\right)\right)$

Шаг 1: Упростим выражение

$$\sin(-x) = -\sin x$$

Тогда:

$$\arcsin\left(\sin\left(-\frac{2\pi}{5}\right)\right) = \arcsin\left(-\sin\frac{2\pi}{5}\right)$$

Шаг 2: Вынесем минус

Функция $\arcsin x$ — нечетная:

$$\arcsin(-x) = -\arcsin x$$

Следовательно:

$$\arcsin\left(-\sin\frac{2\pi}{5}\right) = -\arcsin\left(\sin\frac{2\pi}{5}\right)$$

Шаг 3: По пункту (а):

$$\arcsin\left(\sin\frac{2\pi}{5}\right) = \frac{2\pi}{5}$$

Тогда:

$$-\arcsin\left(\sin\frac{2\pi}{5}\right) = -\frac{2\pi}{5}$$

Ответ: $-\frac{2\pi}{5}$

г) $\arccos\left(\cos\left(-\frac{2\pi}{5}\right)\right)$

Шаг 1: Используем четность косинуса

$$\cos(-x) = \cos x$$

Тогда:

$$\arccos\left(\cos\left(-\frac{2\pi}{5}\right)\right) = \arccos\left(\cos\frac{2\pi}{5}\right)$$

Шаг 2: Применим свойство

$$\arccos(\cos x) = x, \quad \text{если } x \in [0, \pi]$$

• $\frac{2\pi}{5} \in [0, \pi]$ ⇒ условие выполняется.

Следовательно:

$$\arccos(\cos\frac{2\pi}{5}) = \frac{2\pi}{5}$$

Ответ: $\frac{2\pi}{5}$

Итог:

а) $\frac{2\pi}{5}$
б) $\frac{\pi}{10}$
в) $-\frac{2\pi}{5}$
г) $\frac{2\pi}{5}$