ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 26.8 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите с помощью формул приведения:

а) $\cos {630}^{\circ }-\sin {1470}^{\circ }-\mathrm{ctg}{1125}^{\circ }$

б) $\sin (-7\pi )+2\cos \frac{31\pi }{3}-\mathrm{tg}\frac{7\pi }{4}$

в) $\mathrm{tg}{1800}^{\circ }-\sin {495}^{\circ }+\cos {945}^{\circ }$

г) $\cos (-9\pi )+2\sin (-\frac{49\pi }{6})-\mathrm{ctg}(-\frac{21\pi }{4})$

а) $\cos 630^\circ — \sin 1470^\circ — \operatorname{ctg} 1125^\circ =$

$= \cos(2 \cdot 360^\circ — 90^\circ) — \sin(4 \cdot 360^\circ + 30^\circ) — \operatorname{ctg}(6 \cdot 180^\circ + 45^\circ) =$

$= \cos\left(4\pi — \frac{\pi}{2}\right) — \sin 30^\circ — \operatorname{ctg} 45^\circ = \cos \frac{\pi}{2} — \sin \frac{\pi}{6} — \operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} =$

$= 0 — \frac{1}{2} — 1 = -\frac{3}{2} = -1{,}5;$

Ответ: $-1{,}5$.

б) $\sin(-7\pi) + 2 \cos \frac{31\pi}{3} — \operatorname{tg} \frac{7\pi}{4} =$

$= \sin(-7\pi + 8\pi) + 2 \cos \left(10\pi + \frac{\pi}{3}\right) — \operatorname{tg}\left(2\pi — \frac{\pi}{4}\right) =$

$= \sin \pi + 2 \cos \frac{\pi}{3} — \left(-\operatorname{tg} \frac{\pi}{4}\right) = 0 + 2 \cdot \frac{1}{2} — (-1) = 1 + 1 = 2;$

Ответ: $2$.

в) $\operatorname{tg} 1800^\circ — \sin 495^\circ + \cos 945^\circ =$

$= \operatorname{tg}(10 \cdot 180^\circ + 0) — \sin(360^\circ + 135^\circ) + \cos(2 \cdot 360^\circ + 225^\circ) =$

$= \operatorname{tg} 0 — \sin 135^\circ + \cos 225^\circ = -\sin(180^\circ — 45^\circ) + \cos(270^\circ — 45^\circ) =$

$= -\sin\left(\pi — \frac{\pi}{4}\right) + \cos\left(\frac{3\pi}{2} — \frac{\pi}{4}\right) = -\sin \frac{\pi}{4} — \cos \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2};$

Ответ: $-\sqrt{2}$.

г) $\cos(-9\pi) + 2 \sin\left(-\frac{49\pi}{6}\right) — \operatorname{ctg}\left(-\frac{21\pi}{4}\right) = \cos 9\pi — 2 \sin \frac{49\pi}{6} + \operatorname{ctg} \frac{21\pi}{4} =$

$= \cos(8\pi + \pi) — 2 \sin\left(8\pi + \frac{\pi}{6}\right) + \operatorname{ctg}\left(5\pi + \frac{\pi}{4}\right) = \cos \pi — 2 \sin \frac{\pi}{6} + \operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} =$

$= -1 — 2 \cdot \frac{1}{2} + 1 = -1;$

Ответ: $-1$.

а) $\cos 630^\circ — \sin 1470^\circ — \operatorname{ctg} 1125^\circ$

Шаг 1: Приведение углов к базовому промежутку [0°, 360°]

$\cos 630^\circ = \cos(630^\circ — 360^\circ \cdot 1) = \cos(270^\circ)$

$\sin 1470^\circ = \sin(1470^\circ — 360^\circ \cdot 4) = \sin(30^\circ)$

$\operatorname{ctg} 1125^\circ = \operatorname{ctg}(1125^\circ — 180^\circ \cdot 6) = \operatorname{ctg}(45^\circ)$

Шаг 2: Значения тригонометрических функций

$\cos 270^\circ = 0$

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

$\operatorname{ctg} 45^\circ = \frac{1}{\tan 45^\circ} = \frac{1}{1} = 1$

Шаг 3: Подставим значения

$$\cos 630^\circ — \sin 1470^\circ — \operatorname{ctg} 1125^\circ = 0 — \frac{1}{2} — 1 = -\frac{3}{2} = -1{,}5$$

Ответ: $-1{,}5$

б) $\sin(-7\pi) + 2 \cos \frac{31\pi}{3} — \operatorname{tg} \frac{7\pi}{4}$

Шаг 1: Приведение углов к диапазону $[0, 2\pi]$

$\sin(-7\pi)$:

• Период синуса: $2\pi$
• $-7\pi + 8\pi = \pi$, значит: $\sin(-7\pi) = \sin(\pi) = 0$

$\cos \frac{31\pi}{3}$:

• $31\pi/3 = 30\pi/3 + \pi/3 = 10\pi + \pi/3$
• Косинус — периодический с периодом $2\pi$: $10\pi$ можно отбросить
• $\cos \frac{31\pi}{3} = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

$\operatorname{tg} \frac{7\pi}{4}$:

• Тангенс — период $\pi$, но и в пределах $[0, 2\pi]$ видно:
• $\frac{7\pi}{4} = 2\pi — \frac{\pi}{4} \Rightarrow \tan\left(2\pi — \frac{\pi}{4}\right) = -\tan \frac{\pi}{4} = -1$

Шаг 2: Подставим значения

$$0 + 2 \cdot \frac{1}{2} — (-1) = 1 + 1 = 2$$

Ответ: $2$

в) $\operatorname{tg} 1800^\circ — \sin 495^\circ + \cos 945^\circ$

Шаг 1: Приведение углов

$1800^\circ = 10 \cdot 180^\circ$, т.е.
$\operatorname{tg}(1800^\circ) = \operatorname{tg}(0^\circ) = 0$

$495^\circ = 360^\circ + 135^\circ \Rightarrow \sin 495^\circ = \sin 135^\circ$

$945^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 225^\circ \Rightarrow \cos 945^\circ = \cos 225^\circ$

Шаг 2: Вычисляем значения

$\sin 135^\circ = \sin(180^\circ — 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos 225^\circ = \cos(180^\circ + 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Шаг 3: Подставим и посчитаем

$$\operatorname{tg} 0^\circ — \sin 135^\circ + \cos 225^\circ = 0 — \frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}$$

Ответ: $-\sqrt{2}$

г) $\cos(-9\pi) + 2 \sin\left(-\frac{49\pi}{6}\right) — \operatorname{ctg}\left(-\frac{21\pi}{4}\right)$

Шаг 1: Упрощение углов с учётом периодичности

$\cos(-9\pi) = \cos(9\pi)$ — косинус чётная функция
$\cos(9\pi) = \cos(\pi) = -1$

$\sin\left(-\frac{49\pi}{6}\right)$:

• Синус нечётная функция:
  $\sin\left(-\frac{49\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{49\pi}{6}\right)$
• $\frac{49\pi}{6} = 8\pi + \frac{\pi}{6} \Rightarrow \sin\left(\frac{49\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$
• Значит: $\sin\left(-\frac{49\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$

$\operatorname{ctg}\left(-\frac{21\pi}{4}\right)$:

• $\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg}(x)$, функция нечётная
• $-\frac{21\pi}{4} = -5\pi — \frac{\pi}{4} \Rightarrow \operatorname{ctg}\left(-\frac{21\pi}{4}\right) = -\operatorname{ctg}\left(\frac{21\pi}{4}\right)$
• $\frac{21\pi}{4} = 5\pi + \frac{\pi}{4} \Rightarrow \operatorname{ctg}\left(\frac{21\pi}{4}\right) = \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$
• Значит: $\operatorname{ctg}\left(-\frac{21\pi}{4}\right) = -1$

Шаг 2: Подставим

$$\cos (-9\pi )+2\cdot \sin (-\frac{49\pi }{6})-\mathrm{ctg}(-\frac{21\pi }{4})=$$

$$\cos(-9\pi) + 2 \cdot \sin\left(-\frac{49\pi}{6}\right) — \operatorname{ctg}\left(-\frac{21\pi}{4}\right) = -1 + 2 \cdot (-\frac{1}{2}) — (-1) = -1 -1 + 1 = -1$$

Ответ: $-1$