ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.11 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а)

$$1+\sin a=2{\cos }^2({45}^{\circ }-\frac{a}{2});$$

б)

$$2{\sin }^2({45}^{\circ }-a)+\sin 2a=1;$$

в)

$$1-\sin a=2{\sin }^2({45}^{\circ }-\frac{a}{2});$$

г)

$$2{\cos }^2({45}^{\circ }+a)+\sin 2a=1$$

Доказать тождество:

а)

$$1+\sin a=2{\cos }^2({45}^{\circ }-\frac{a}{2});$$

$$$$$$1+\sin a=2\cdot \frac{1+\cos (2\cdot {45}^{\circ }-\frac{2a}{2})}{2};$$

$$$$$$1+\sin a=1+\cos ({90}^{\circ }-a);$$

$$$$$$1+\sin a=1+\cos (\frac{\pi }{2}-a);$$

$$$$$$1+\sin a=1+\sin a;$$

Тождество доказано.

б)

$$2{\sin }^2({45}^{\circ }-a)+\sin 2a=1;$$

$$$$$$2\cdot \frac{1-\cos (2\cdot {45}^{\circ }-2a)}{2}+\sin 2a=1;$$

$$$$$$(1-\cos ({90}^{\circ }-2a))+\sin 2a=1;$$

$$$$$$1-\cos (\frac{\pi }{2}-2a)+\sin 2a=1;$$

$$$$$$1-\sin 2a+\sin 2a=1;$$

$$$$$$1=1;$$

Тождество доказано.

в)

$$1-\sin a=2{\sin }^2({45}^{\circ }-\frac{a}{2});$$

$$$$$$1-\sin a=2\cdot \frac{1-\cos (2\cdot {45}^{\circ }-\frac{2a}{2})}{2};$$

$$$$$$1-\sin a=1-\cos ({90}^{\circ }-a);$$

$$$$$$1-\sin a=1-\cos (\frac{\pi }{2}-a);$$

$$$$$$1-\sin a=1-\sin a;$$

Тождество доказано.

г)

$$2{\cos }^2({45}^{\circ }+a)+\sin 2a=1;$$

$$$$$$2\cdot \frac{1+\cos (2\cdot {45}^{\circ }+2a)}{2}+\sin 2a=1;$$

$$$$$$(1+\cos ({90}^{\circ }+2a))+\sin 2a=1;$$

$$$$$$1+\cos (\frac{\pi }{2}+2a)+\sin 2a=1;$$

$$$$$$1-\sin 2a+\sin 2a=1;$$

$$$$$$1=1;$$

Тождество доказано.

а) Доказать:

$$1+\sin a=2{\cos }^2({45}^{\circ }-\frac{a}{2})$$

Шаг 1. Используем формулу двойного угла:

$${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos (2x)}{2}$$

Применим эту формулу к правой части:

$$2{\cos }^2({45}^{\circ }-\frac{a}{2})=2\cdot \frac{1+\cos (2\cdot ({45}^{\circ }-\frac{a}{2}))}{2}$$

Шаг 2. Раскроем скобки:

$$2\cdot \frac{1+\cos ({90}^{\circ }-a)}{2}$$

Шаг 3. Упростим:

$$=1+\cos ({90}^{\circ }-a)$$

Шаг 4. Используем тригонометрическое тождество:

$$\cos ({90}^{\circ }-a)=\sin a$$

Шаг 5. Подставим:

$$1+\cos ({90}^{\circ }-a)=1+\sin a$$

Вывод: Левая часть равна правой:

$$1+\sin a=1+\sin a\Rightarrow \text{тождество доказано.}$$

б) Доказать:

$$2{\sin }^2({45}^{\circ }-a)+\sin 2a=1$$

Шаг 1. Применим формулу:

$${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos (2x)}{2}$$

Подставим:

$$2\cdot \frac{1-\cos (2\cdot ({45}^{\circ }-a))}{2}+\sin 2a$$

Шаг 2. Раскроем скобки:

$$2\cdot \frac{1-\cos ({90}^{\circ }-2a)}{2}+\sin 2a$$

Шаг 3. Сократим множитель 2:

$$1-\cos ({90}^{\circ }-2a)+\sin 2a$$

Шаг 4. Преобразуем:

$$\cos ({90}^{\circ }-2a)=\sin 2a$$

Шаг 5. Подставим:

$$1-\sin 2a+\sin 2a=1$$

Вывод:

$$1=1\Rightarrow \text{тождество доказано.}$$

в) Доказать:

$$1-\sin a=2{\sin }^2({45}^{\circ }-\frac{a}{2})$$

Шаг 1. Используем:

$${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos (2x)}{2}$$

Применим к правой части:

$$2\cdot \frac{1-\cos (2\cdot ({45}^{\circ }-\frac{a}{2}))}{2}$$

Шаг 2. Раскроем скобки:

$$2\cdot \frac{1-\cos ({90}^{\circ }-a)}{2}$$

Шаг 3. Сократим множитель 2:

$$1-\cos ({90}^{\circ }-a)$$

Шаг 4. Заменим:

$$\cos ({90}^{\circ }-a)=\sin a$$

Шаг 5. Подставим:

$$1-\sin a$$

Вывод:

$$1-\sin a=1-\sin a\Rightarrow \text{тождество доказано.}$$

г) Доказать:

$$2{\cos }^2({45}^{\circ }+a)+\sin 2a=1$$

Шаг 1. Используем:

$${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos (2x)}{2}$$

Применим к правой части:

$$2\cdot \frac{1+\cos (2\cdot ({45}^{\circ }+a))}{2}+\sin 2a$$

Шаг 2. Раскроем:

$$2\cdot \frac{1+\cos ({90}^{\circ }+2a)}{2}+\sin 2a$$

Шаг 3. Упростим:

$$1+\cos ({90}^{\circ }+2a)+\sin 2a$$

Шаг 4. Используем:

$$\cos ({90}^{\circ }+x)=-\sin x\Rightarrow \cos ({90}^{\circ }+2a)=-\sin 2a$$

Шаг 5. Подставим:

$$1-\sin 2a+\sin 2a=1$$

Вывод:

$$1=1\Rightarrow \text{тождество доказано.}$$