ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.13 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а)

$$\frac{\sin 2t}{1+\cos 2t}\cdot \frac{\cos t}{1+\cos t}=\mathrm{tg}\frac{t}{2};$$

б)

$$\frac{\sin 2t}{1+\cos 2t}\cdot \frac{\cos t}{1+\cos t}\cdot \frac{\cos \frac{t}{2}}{1+\cos \frac{t}{2}}=\mathrm{tg}\frac{t}{4}$$

Доказать тождество:

а)

$$\frac{\sin 2t}{1+\cos 2t}\cdot \frac{\cos t}{1+\cos t}=\mathrm{tg}\frac{t}{2};$$

$$\frac{\sin 2t}{1 + \cos 2t} \cdot \frac{\cos t}{1 + \cos t} = \operatorname{tg} \frac{t}{2};$$ $$\frac{2\sin t\cdot \cos t}{2{\cos }^{2}t}\cdot \frac{\cos t}{1+\cos t}=\mathrm{tg}\frac{t}{2};$$

$$\frac{2 \sin t \cdot \cos t}{2 \cos^2 t} \cdot \frac{\cos t}{1 + \cos t} = \operatorname{tg} \frac{t}{2};$$ $$\frac{\sin t}{1+\cos t}=\mathrm{tg}\frac{t}{2};$$

$$\frac{\sin t}{1 + \cos t} = \operatorname{tg} \frac{t}{2};$$ $$\frac{2\sin \frac{t}{2}\cdot \cos \frac{t}{2}}{2{\cos }^2\frac{t}{2}}=\mathrm{tg}\frac{t}{2};$$

$$\frac{2 \sin \frac{t}{2} \cdot \cos \frac{t}{2}}{2 \cos^2 \frac{t}{2}} = \operatorname{tg} \frac{t}{2};$$ $$\frac{\sin \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2}}=\mathrm{tg}\frac{t}{2};$$

$$\frac{\sin \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2}} = \operatorname{tg} \frac{t}{2};$$ $$\operatorname{tg} \frac{t}{2} = \operatorname{tg} \frac{t}{2};$$

Тождество доказано.

б)

$$\frac{\sin 2t}{1+\cos 2t}\cdot \frac{\cos t}{1+\cos t}\cdot \frac{\cos \frac{t}{2}}{1+\cos \frac{t}{2}}=\mathrm{tg}\frac{t}{4};$$

$$\frac{\sin 2t}{1 + \cos 2t} \cdot \frac{\cos t}{1 + \cos t} \cdot \frac{\cos \frac{t}{2}}{1 + \cos \frac{t}{2}} = \operatorname{tg} \frac{t}{4};$$ $$\frac{2\sin t\cdot \cos t}{2{\cos }^{2}t}\cdot \frac{\cos t}{1+\cos t}\cdot \frac{\cos \frac{t}{2}}{1+\cos \frac{t}{2}}=\mathrm{tg}\frac{t}{4};$$

$$\frac{2 \sin t \cdot \cos t}{2 \cos^2 t} \cdot \frac{\cos t}{1 + \cos t} \cdot \frac{\cos \frac{t}{2}}{1 + \cos \frac{t}{2}} = \operatorname{tg} \frac{t}{4};$$ $$\frac{\sin t}{1+\cos t}\cdot \frac{\cos \frac{t}{2}}{1+\cos \frac{t}{2}}=\mathrm{tg}\frac{t}{4};$$

$$\frac{\sin t}{1 + \cos t} \cdot \frac{\cos \frac{t}{2}}{1 + \cos \frac{t}{2}} = \operatorname{tg} \frac{t}{4};$$ $$\frac{2\sin \frac{t}{2}\cdot \cos \frac{t}{2}}{2{\cos }^2\frac{t}{2}}\cdot \frac{\cos \frac{t}{2}}{1+\cos \frac{t}{2}}=\mathrm{tg}\frac{t}{4};$$

$$\frac{2 \sin \frac{t}{2} \cdot \cos \frac{t}{2}}{2 \cos^2 \frac{t}{2}} \cdot \frac{\cos \frac{t}{2}}{1 + \cos \frac{t}{2}} = \operatorname{tg} \frac{t}{4};$$ $$\frac{\sin \frac{t}{2}}{1+\cos \frac{t}{2}}=\mathrm{tg}\frac{t}{4};$$

$$\frac{\sin \frac{t}{2}}{1 + \cos \frac{t}{2}} = \operatorname{tg} \frac{t}{4};$$ $$\frac{2\sin \frac{t}{4}\cdot \cos \frac{t}{4}}{2{\cos }^2\frac{t}{4}}=\mathrm{tg}\frac{t}{4};$$

$$\frac{2 \sin \frac{t}{4} \cdot \cos \frac{t}{4}}{2 \cos^2 \frac{t}{4}} = \operatorname{tg} \frac{t}{4};$$ $$\frac{\sin \frac{t}{4}}{\cos \frac{t}{4}}=\mathrm{tg}\frac{t}{4};$$

$$\frac{\sin \frac{t}{4}}{\cos \frac{t}{4}} = \operatorname{tg} \frac{t}{4};$$ $$\operatorname{tg} \frac{t}{4} = \operatorname{tg} \frac{t}{4};$$

Тождество доказано.

а) Доказать:

$$\frac{\sin 2t}{1 + \cos 2t} \cdot \frac{\cos t}{1 + \cos t} = \tan\left(\frac{t}{2}\right)$$

Шаг 1. Распишем $\sin 2t$ и $\cos 2t$ через обычные тригонометрические функции

$$\sin 2t = 2 \sin t \cos t,\quad \cos 2t = 2 \cos^2 t — 1$$

Тогда:

$$\frac{\sin 2t}{1 + \cos 2t} = \frac{2 \sin t \cos t}{1 + (2 \cos^2 t — 1)} = \frac{2 \sin t \cos t}{2 \cos^2 t}$$

Шаг 2. Сократим дробь

$$\frac{2 \sin t \cos t}{2 \cos^2 t} = \frac{\sin t}{\cos t}$$

Шаг 3. Подставим это обратно в исходное выражение

Теперь:

$$\frac{\sin 2t}{1 + \cos 2t} \cdot \frac{\cos t}{1 + \cos t} = \left( \frac{\sin t}{\cos t} \right) \cdot \frac{\cos t}{1 + \cos t}$$

Шаг 4. Сократим $\cos t$ в числителе и знаменателе

$$\left( \frac{\sin t}{\cos t} \right) \cdot \frac{\cos t}{1 + \cos t} = \frac{\sin t}{1 + \cos t}$$

Шаг 5. Используем формулу понижения аргумента:

$$\sin t=2\sin \frac{t}{2}\cos \frac{t}{2},\cos t=2{\cos }^2\frac{t}{2}-1\Rightarrow$$

$$\sin t = 2 \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2},\quad \cos t = 2 \cos^2 \frac{t}{2} — 1 \Rightarrow 1 + \cos t = 1 + (2 \cos^2 \frac{t}{2} — 1) = 2 \cos^2 \frac{t}{2}$$

Тогда:

$$\frac{\sin t}{1 + \cos t} = \frac{2 \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2}}{2 \cos^2 \frac{t}{2}} = \frac{\sin \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2}} = \tan\left( \frac{t}{2} \right)$$

Тождество доказано.

б) Доказать:

$$\frac{\sin 2t}{1 + \cos 2t} \cdot \frac{\cos t}{1 + \cos t} \cdot \frac{\cos \frac{t}{2}}{1 + \cos \frac{t}{2}} = \tan\left( \frac{t}{4} \right)$$

Шаг 1. Начинаем с первой части, как в пункте а):

$$\frac{\sin 2t}{1 + \cos 2t} \cdot \frac{\cos t}{1 + \cos t} = \frac{\sin t}{1 + \cos t} \quad \text{(как доказано выше)}$$

Шаг 2. Теперь добавим третью дробь:

$$\left( \frac{\sin t}{1 + \cos t} \right) \cdot \frac{\cos \frac{t}{2}}{1 + \cos \frac{t}{2}}$$

Шаг 3. Выражаем $\sin t$ и $\cos t$ через $\frac{t}{2}$

$$\sin t = 2 \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2},\quad 1 + \cos t = 2 \cos^2 \frac{t}{2}$$

Тогда:

$$\frac{\sin t}{1 + \cos t} = \frac{2 \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2}}{2 \cos^2 \frac{t}{2}} = \frac{\sin \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2}}$$

Шаг 4. Умножим на оставшуюся дробь

$$\left( \frac{\sin \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2}} \right) \cdot \left( \frac{\cos \frac{t}{2}}{1 + \cos \frac{t}{2}} \right) = \frac{\sin \frac{t}{2}}{1 + \cos \frac{t}{2}}$$

Шаг 5. Выразим $\sin \frac{t}{2}$ и $\cos \frac{t}{2}$ через $\frac{t}{4}$

$$\sin \frac{t}{2}=2\sin \frac{t}{4}\cos \frac{t}{4},\cos \frac{t}{2}=2{\cos }^2\frac{t}{4}-1$$

$$\sin \frac{t}{2} = 2 \sin \frac{t}{4} \cos \frac{t}{4},\quad \cos \frac{t}{2} = 2 \cos^2 \frac{t}{4} — 1 \Rightarrow 1 + \cos \frac{t}{2} = 2 \cos^2 \frac{t}{4}$$

Тогда:

$$\frac{\sin \frac{t}{2}}{1 + \cos \frac{t}{2}} = \frac{2 \sin \frac{t}{4} \cos \frac{t}{4}}{2 \cos^2 \frac{t}{4}} = \frac{\sin \frac{t}{4}}{\cos \frac{t}{4}} = \tan\left( \frac{t}{4} \right)$$

Тождество доказано.