ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.14 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а)

$$\frac{1-\cos 2t+\sin 2t}{1+\sin 2t+\cos 2t}=\mathrm{tg}t;$$

б)

$$\frac{1+\cos 2t-\sin 2t}{1+\sin 2t+\cos 2t}=\mathrm{tg}(\frac{\pi }{4}-t)$$

Доказать тождество:

а)

$$\frac{1-\cos 2t+\sin 2t}{1+\sin 2t+\cos 2t}=\mathrm{tg}t;$$

$$\frac{1 — \cos 2t + \sin 2t}{1 + \sin 2t + \cos 2t} = \operatorname{tg} t;$$ $$\frac{(1-\cos 2t)+\sin 2t}{(1+\cos 2t)+\sin 2t}=\mathrm{tg}t;$$

$$\frac{(1 — \cos 2t) + \sin 2t}{(1 + \cos 2t) + \sin 2t} = \operatorname{tg} t;$$ $$\frac{2{\sin }^{2}t+2\sin t\cdot \cos t}{2{\cos }^{2}t+2\sin t\cdot \cos t}=\mathrm{tg}t;$$

$$\frac{2 \sin^2 t + 2 \sin t \cdot \cos t}{2 \cos^2 t + 2 \sin t \cdot \cos t} = \operatorname{tg} t;$$ $$\frac{2\sin t\cdot (\sin t+\cos t)}{2\cos t\cdot (\cos t+\sin t)}=\mathrm{tg}t;$$

$$\frac{2 \sin t \cdot (\sin t + \cos t)}{2 \cos t \cdot (\cos t + \sin t)} = \operatorname{tg} t;$$ $$\frac{\sin t}{\cos t}=\mathrm{tg}t;$$

$$\frac{\sin t}{\cos t} = \operatorname{tg} t;$$ $$\operatorname{tg} t = \operatorname{tg} t;$$

Тождество доказано.

б)

$$\frac{1+\cos 2t-\sin 2t}{1+\sin 2t+\cos 2t}=\mathrm{tg}(\frac{\pi }{4}-t);$$

$$\frac{1 + \cos 2t — \sin 2t}{1 + \sin 2t + \cos 2t} = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} — t\right);$$ $$\frac{(1+\cos 2t)-\sin 2t}{(1+\cos 2t)+\sin 2t}=\mathrm{tg}(\frac{\pi }{4}-t);$$

$$\frac{(1 + \cos 2t) — \sin 2t}{(1 + \cos 2t) + \sin 2t} = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} — t\right);$$ $$\frac{2{\cos }^{2}t-2\sin t\cdot \cos t}{2{\cos }^{2}t+2\sin t\cdot \cos t}=\mathrm{tg}(\frac{\pi }{4}-t);$$

$$\frac{2 \cos^2 t — 2 \sin t \cdot \cos t}{2 \cos^2 t + 2 \sin t \cdot \cos t} = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} — t\right);$$ $$\frac{2\cos t\cdot (\cos t-\sin t)}{2\cos t\cdot (\cos t+\sin t)}=\mathrm{tg}(\frac{\pi }{4}-t);$$

$$\frac{2 \cos t \cdot (\cos t — \sin t)}{2 \cos t \cdot (\cos t + \sin t)} = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} — t\right);$$ $$\frac{\cos t-\sin t}{\cos t+\sin t}=\mathrm{tg}(\frac{\pi }{4}-t);$$

$$\frac{\cos t — \sin t}{\cos t + \sin t} = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} — t\right);$$ $$\frac{\cos t\cdot \sin \frac{\pi }{4}-\sin t\cdot \cos \frac{\pi }{4}}{\cos t\cdot \cos \frac{\pi }{4}+\sin t\cdot \sin \frac{\pi }{4}}=\mathrm{tg}(\frac{\pi }{4}-t);$$

$$\frac{\cos t \cdot \sin \frac{\pi}{4} — \sin t \cdot \cos \frac{\pi}{4}}{\cos t \cdot \cos \frac{\pi}{4} + \sin t \cdot \sin \frac{\pi}{4}} = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} — t\right);$$ $$\frac{\sin (\frac{\pi }{4}-t)}{\cos (\frac{\pi }{4}-t)}=\mathrm{tg}(\frac{\pi }{4}-t);$$

$$\frac{\sin \left(\frac{\pi}{4} — t\right)}{\cos \left(\frac{\pi}{4} — t\right)} = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} — t\right);$$ $$\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} — t\right) = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} — t\right);$$

Тождество доказано.

а)

Доказать:

$$\frac{1 — \cos 2t + \sin 2t}{1 + \sin 2t + \cos 2t} = \tg t$$

Шаг 1. Формулы двойного угла:

$$\cos 2t = 2\cos^2 t — 1, \quad \sin 2t = 2\sin t \cos t$$

Шаг 2. Подставим в числитель и знаменатель:

Числитель:

$$1 — \cos 2t + \sin 2t = 1 — (2\cos^2 t — 1) + 2\sin t \cos t = 2 — 2\cos^2 t + 2\sin t \cos t$$ $$= 2(\sin^2 t + \sin t \cos t)$$

Знаменатель:

$$1 + \sin 2t + \cos 2t = 1 + 2\sin t \cos t + (2\cos^2 t — 1) = 2\cos^2 t + 2\sin t \cos t$$ $$= 2(\cos^2 t + \sin t \cos t)$$

Шаг 3. Подставим обратно:

$$\frac{2(\sin^2 t + \sin t \cos t)}{2(\cos^2 t + \sin t \cos t)} = \frac{\sin^2 t + \sin t \cos t}{\cos^2 t + \sin t \cos t}$$

Шаг 4. Вынесем общий множитель:

Числитель:

$$\sin t (\sin t + \cos t)$$

Знаменатель:

$$\cos t (\cos t + \sin t)$$

Шаг 5. Сократим:

$$\frac{\sin t (\sin t + \cos t)}{\cos t (\cos t + \sin t)} = \frac{\sin t}{\cos t} = \tg t$$

Ответ:

$$\frac{1 — \cos 2t + \sin 2t}{1 + \sin 2t + \cos 2t} = \tg t \quad \text{— тождество доказано.}$$

б)

Доказать:

$$\frac{1 + \cos 2t — \sin 2t}{1 + \sin 2t + \cos 2t} = \tg\left(\frac{\pi}{4} — t\right)$$

Шаг 1. Формулы:

$$\cos 2t = 2\cos^2 t — 1, \quad \sin 2t = 2\sin t \cos t$$

Шаг 2. Подставим в выражения:

Числитель:

$$1 + \cos 2t — \sin 2t = 1 + (2\cos^2 t — 1) — 2\sin t \cos t = 2\cos^2 t — 2\sin t \cos t$$ $$= 2\cos t (\cos t — \sin t)$$

Знаменатель:

$$1 + \sin 2t + \cos 2t = 1 + 2\sin t \cos t + (2\cos^2 t — 1) = 2\cos^2 t + 2\sin t \cos t$$ $$= 2\cos t (\cos t + \sin t)$$

Шаг 3. Подставим:

$$\frac{2\cos t (\cos t — \sin t)}{2\cos t (\cos t + \sin t)} = \frac{\cos t — \sin t}{\cos t + \sin t}$$

Шаг 4. Применим формулы приведения:

$$\tg\left(\frac{\pi}{4} — t\right) = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{4} — t\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{4} — t\right)}$$

Используем:

• $\sin\left(\frac{\pi}{4} — t\right) = \sin\frac{\pi}{4} \cos t — \cos\frac{\pi}{4} \sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos t — \sin t)$
• $\cos\left(\frac{\pi}{4} — t\right) = \cos\frac{\pi}{4} \cos t + \sin\frac{\pi}{4} \sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos t + \sin t)$

Шаг 5. Собираем:

$$\tg\left(\frac{\pi}{4} — t\right) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos t — \sin t)}{\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos t + \sin t)} = \frac{\cos t — \sin t}{\cos t + \sin t}$$

Ответ:

$$\frac{1 + \cos 2t — \sin 2t}{1 + \sin 2t + \cos 2t} = \tg\left(\frac{\pi}{4} — t\right) \quad \text{— тождество доказано.}$$