ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.15 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а) $\cos^2 t — \cos^2\left(\frac{\pi}{4} — t\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sin\left(\frac{\pi}{4} — 2t\right)$;

б) $\sin^2 t — \sin^2\left(\frac{\pi}{4} — t\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sin\left(2t — \frac{\pi}{4}\right)$

Доказать тождество:

а) $\cos^2 t — \cos^2\left(\frac{\pi}{4} — t\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sin\left(\frac{\pi}{4} — 2t\right)$;

$$\frac{1 + \cos 2t}{2} — \frac{1 + \cos\left(\frac{\pi}{2} — 2t\right)}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \sin\frac{\pi}{4} \cdot \cos 2t — \cos\frac{\pi}{4} \cdot \sin 2t \right);$$ $$\frac{1}{2} \left( \cos 2t — \cos\left(\frac{\pi}{2} — 2t\right) \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos 2t — \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin 2t \right);$$ $$\frac{1}{2} \left( \cos 2t — \sin 2t \right) = \frac{1}{2} \left( \cos 2t — \sin 2t \right);$$

Тождество доказано.

б) $\sin^2 t — \sin^2\left(\frac{\pi}{4} — t\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sin\left(2t — \frac{\pi}{4}\right)$;

$$\frac{1 — \cos 2t}{2} — \frac{1 — \cos\left(\frac{\pi}{2} — 2t\right)}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \sin 2t \cdot \cos\frac{\pi}{4} — \cos 2t \cdot \sin\frac{\pi}{4} \right);$$ $$\frac{1}{2} \left( \cos\left(\frac{\pi}{2} — 2t\right) — \cos 2t \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \sin 2t — \frac{\sqrt{2}}{2} \cos 2t \right);$$ $$\frac{1}{2} \left( \sin 2t — \cos 2t \right) = \frac{1}{2} \left( \sin 2t — \cos 2t \right);$$

Тождество доказано.

а) Доказать тождество:

$$\cos^2 t — \cos^2\left(\frac{\pi}{4} — t\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sin\left(\frac{\pi}{4} — 2t\right)$$

Шаг 1: Применим формулу понижения степени для $\cos^2$:

$$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$$

Применим эту формулу к каждому слагаемому:

$$\cos^2 t = \frac{1 + \cos 2t}{2}, \quad \cos^2\left(\frac{\pi}{4} — t\right) = \frac{1 + \cos\left(2\left(\frac{\pi}{4} — t\right)\right)}{2}$$

Упростим второе выражение:

$$2\left(\frac{\pi}{4} — t\right) = \frac{\pi}{2} — 2t \quad \Rightarrow \quad \cos^2\left(\frac{\pi}{4} — t\right) = \frac{1 + \cos\left(\frac{\pi}{2} — 2t\right)}{2}$$

Шаг 2: Подставим в левую часть исходного выражения:

$$\frac{1 + \cos 2t}{2} — \frac{1 + \cos\left(\frac{\pi}{2} — 2t\right)}{2}$$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$:

$$\frac{1}{2} \left( \left(1 + \cos 2t\right) — \left(1 + \cos\left(\frac{\pi}{2} — 2t\right)\right) \right) \Rightarrow \frac{1}{2} \left( \cos 2t — \cos\left(\frac{\pi}{2} — 2t\right) \right)$$

Шаг 3: Упростим $\cos\left(\frac{\pi}{2} — 2t\right)$

Из тригонометрического тождества:

$$\cos\left(\frac{\pi}{2} — x\right) = \sin x$$

Получаем:

$$\cos\left(\frac{\pi}{2} — 2t\right) = \sin 2t$$

Следовательно:

$$\frac{1}{2} \left( \cos 2t — \sin 2t \right)$$

Шаг 4: Упростим правую часть тождества

В правой части:

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sin\left(\frac{\pi}{4} — 2t\right)$$

Применим формулу разности синусов:

$$\sin(a — b) = \sin a \cos b — \cos a \sin b$$

Здесь:

• $a = \frac{\pi}{4}$,
• $b = 2t$

Подставим:

$$\sin\left(\frac{\pi}{4} — 2t\right) = \sin\frac{\pi}{4} \cdot \cos 2t — \cos\frac{\pi}{4} \cdot \sin 2t$$

А мы знаем, что:

$$\sin\frac{\pi}{4} = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Тогда:

$$\sin\left(\frac{\pi}{4} — 2t\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos 2t — \frac{\sqrt{2}}{2} \sin 2t$$

Теперь домножим всё на $\frac{1}{\sqrt{2}}$:

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cos 2t — \frac{\sqrt{2}}{2} \sin 2t \right) = \frac{1}{2} \left( \cos 2t — \sin 2t \right)$$

Шаг 5: Сравниваем обе части:

Левая часть: $\frac{1}{2} \left( \cos 2t — \sin 2t \right)$
Правая часть: $\frac{1}{2} \left( \cos 2t — \sin 2t \right)$

Они равны ⇒ тождество доказано.

б) Доказать тождество:

$$\sin^2 t — \sin^2\left(\frac{\pi}{4} — t\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sin\left(2t — \frac{\pi}{4}\right)$$

Шаг 1: Применим формулу понижения степени для $\sin^2$:

$$\sin^2 x = \frac{1 — \cos 2x}{2}$$

Применим к каждому:

$$\sin^2 t = \frac{1 — \cos 2t}{2}, \quad \sin^2\left(\frac{\pi}{4} — t\right) = \frac{1 — \cos\left(2\left(\frac{\pi}{4} — t\right)\right)}{2}$$

Упростим:

$$2\left(\frac{\pi}{4} — t\right) = \frac{\pi}{2} — 2t \Rightarrow \cos\left(\frac{\pi}{2} — 2t\right)$$

Шаг 2: Подставим в левую часть:

$$\frac{1 — \cos 2t}{2} — \frac{1 — \cos\left(\frac{\pi}{2} — 2t\right)}{2}$$

Вынесем $\frac{1}{2}$:

$$\frac{1}{2} \left( \left(1 — \cos 2t\right) — \left(1 — \cos\left(\frac{\pi}{2} — 2t\right)\right) \right) = \frac{1}{2} \left( \cos\left(\frac{\pi}{2} — 2t\right) — \cos 2t \right)$$

Шаг 3: Упростим $\cos\left(\frac{\pi}{2} — 2t\right)$

Опять же:

$$\cos\left(\frac{\pi}{2} — 2t\right) = \sin 2t$$

Подставим:

$$\frac{1}{2} \left( \sin 2t — \cos 2t \right)$$

Шаг 4: Упростим правую часть:

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sin\left(2t — \frac{\pi}{4}\right)$$

Применим формулу:

$$\sin(a — b) = \sin a \cos b — \cos a \sin b$$

Здесь:

• $a = 2t$,
• $b = \frac{\pi}{4}$

Подставим:

$$\sin\left(2t — \frac{\pi}{4}\right) = \sin 2t \cdot \cos\frac{\pi}{4} — \cos 2t \cdot \sin\frac{\pi}{4}$$

И снова:

$$\cos\frac{\pi}{4} = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Подставим:

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \sin 2t — \frac{\sqrt{2}}{2} \cos 2t \right) = \frac{1}{2} \left( \sin 2t — \cos 2t \right)$$

Шаг 5: Сравниваем обе части:

Левая часть: $\frac{1}{2} \left( \sin 2t — \cos 2t \right)$
Правая часть: $\frac{1}{2} \left( \sin 2t — \cos 2t \right)$

Они равны ⇒ тождество доказано.