ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.17 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Проверьте числовое равенство:

а) $\sin 18^\circ \cdot \cos 18^\circ \cdot \cos 36^\circ = \frac{1}{4} \sin 72^\circ$;

б) $\sin 18^\circ \cdot \cos 36^\circ = \frac{1}{4}$

Проверить числовое равенство:

а) $\sin 18^\circ \cdot \cos 18^\circ \cdot \cos 36^\circ = \frac{1}{4} \sin 72^\circ$;

Преобразуем левую часть равенства:

$$\sin 18^\circ \cdot \cos 18^\circ \cdot \cos 36^\circ = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 18^\circ) \cdot \cos 36^\circ = \frac{1}{2} \sin 36^\circ \cdot \cos 36^\circ =$$ $$= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 36^\circ) = \frac{1}{4} \sin 72^\circ;$$

Ответ: верно.

б) $\sin 18^\circ \cdot \cos 36^\circ = \frac{1}{4}$;

Преобразуем левую часть равенства:

$$\sin 18^\circ \cdot \cos 36^\circ = \frac{4 \sin 18^\circ \cdot \cos 18^\circ \cdot \cos 36^\circ}{4 \cos 18^\circ} = \frac{2 \cdot \sin(2 \cdot 18^\circ) \cdot \cos 36^\circ}{4 \cos 18^\circ} =$$ $$= \frac{2 \sin 36^\circ \cdot \cos 36^\circ}{4 \cos 18^\circ} = \frac{\sin(2 \cdot 36^\circ)}{4 \cos(90^\circ — 72^\circ)} = \frac{\sin 72^\circ}{4 \sin 72^\circ} = \frac{1}{4};$$

Ответ: верно.

Проверить числовое равенство:

а)

$$\sin 18^\circ \cdot \cos 18^\circ \cdot \cos 36^\circ = \frac{1}{4} \sin 72^\circ$$

Преобразуем левую часть:

$$\sin 18^\circ \cdot \cos 18^\circ \cdot \cos 36^\circ$$

Заметим, что в первом произведении $\sin 18^\circ \cdot \cos 18^\circ$ содержится формула двойного угла для синуса:

$$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \Rightarrow \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin 2\alpha$$

Применим её при $\alpha = 18^\circ$:

$$\sin 18^\circ \cdot \cos 18^\circ = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 18^\circ) = \frac{1}{2} \sin 36^\circ$$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$$\frac{1}{2} \sin 36^\circ \cdot \cos 36^\circ$$

Теперь снова применим ту же формулу двойного угла, но уже к $\sin 36^\circ \cdot \cos 36^\circ$:

$$\sin 36^\circ \cdot \cos 36^\circ = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 36^\circ) = \frac{1}{2} \sin 72^\circ$$

Теперь подставим это:

$$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \sin 72^\circ = \frac{1}{4} \sin 72^\circ$$

Левая часть преобразована полностью и совпадает с правой частью:

$$\frac{1}{4} \sin 72^\circ$$

Ответ: верно.

б)

$$\sin 18^\circ \cdot \cos 36^\circ = \frac{1}{4}$$

Преобразуем левую часть:

Здесь напрямую нет подходящей формулы, но попробуем привести выражение к предыдущему примеру. Умножим и разделим на $\cos 18^\circ$, чтобы получить часть из пункта (а):

$$\sin 18^\circ \cdot \cos 36^\circ = \frac{4 \cdot \sin 18^\circ \cdot \cos 18^\circ \cdot \cos 36^\circ}{4 \cos 18^\circ}$$

Мы не изменили выражение, поскольку домножили и поделили на одно и то же (на $4 \cos 18^\circ$). Теперь в числителе:

$$4 \cdot \sin 18^\circ \cdot \cos 18^\circ \cdot \cos 36^\circ$$

Из пункта (а) знаем, что:

$$\sin 18^\circ \cdot \cos 18^\circ \cdot \cos 36^\circ = \frac{1}{4} \sin 72^\circ \Rightarrow 4 \cdot \left( \frac{1}{4} \sin 72^\circ \right) = \sin 72^\circ$$

Подставим это в числитель:

$$\frac{\sin 72^\circ}{4 \cos 18^\circ}$$

Теперь упростим знаменатель:

$$\cos 18^\circ = \sin(90^\circ — 18^\circ) = \sin 72^\circ$$

Следовательно:

$$\frac{\sin 72^\circ}{4 \cdot \sin 72^\circ} = \frac{1}{4}$$

Левая часть полностью преобразована и совпадает с правой:

$$\frac{1}{4}$$

Ответ: верно.