ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.18 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Упростите выражение $\sqrt{1 — \cos 2t} + \sqrt{1 + \cos 2t}$, если:

а) $t \in \left[\frac{\pi}{2}; \pi\right]$;

в) $t \in \left[0; \frac{\pi}{2}\right]$;

б) $t \in \left[\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right]$;

г) $t \in \left[\pi; \frac{3\pi}{2}\right]$.

Упростить выражение:

$$f = \sqrt{1 — \cos 2t} + \sqrt{1 + \cos 2t};$$

а) Если $t \in \left[ \frac{\pi}{2}; \pi \right]$, тогда:

$$f = \sqrt{2 \sin^2 t} + \sqrt{2 \cos^2 t} = \sqrt{2} |\sin t| + \sqrt{2} |\cos t| = \sqrt{2} \sin t — \sqrt{2} \cos t;$$ $$f = 2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \sin t — \frac{\sqrt{2}}{2} \cos t \right) = 2 \left( \cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin t — \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos t \right) = 2 \sin \left( t — \frac{\pi}{4} \right);$$

Ответ: $2 \sin \left( t — \frac{\pi}{4} \right)$.

б) Если $t \in \left[ \frac{3\pi}{2}; 2\pi \right]$, тогда:

$$f = \sqrt{2 \sin^2 t} + \sqrt{2 \cos^2 t} = \sqrt{2} |\sin t| + \sqrt{2} |\cos t| = \sqrt{2} \cos t — \sqrt{2} \sin t;$$ $$f = 2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cos t — \frac{\sqrt{2}}{2} \sin t \right) = 2 \left( \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos t — \cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin t \right) = 2 \sin \left( \frac{\pi}{4} — t \right);$$

Ответ: $2 \sin \left( \frac{\pi}{4} — t \right)$.

в) Если $t \in \left[ 0; \frac{\pi}{2} \right]$, тогда:

$$f = \sqrt{2 \sin^2 t} + \sqrt{2 \cos^2 t} = \sqrt{2} |\sin t| + \sqrt{2} |\cos t| = \sqrt{2} \sin t + \sqrt{2} \cos t;$$ $$f = 2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \sin t + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos t \right) = 2 \left( \cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin t + \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos t \right) = 2 \sin \left( t + \frac{\pi}{4} \right);$$

Ответ: $2 \sin \left( t + \frac{\pi}{4} \right)$.

г) Если $t \in \left[ \pi; \frac{3\pi}{2} \right]$, тогда:

$$f = \sqrt{2 \sin^2 t} + \sqrt{2 \cos^2 t} = \sqrt{2} |\sin t| + \sqrt{2} |\cos t| = -\sqrt{2} \sin t — \sqrt{2} \cos t;$$ $$f = -2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \sin t + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos t \right) = -2 \left( \cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin t + \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos t \right) = -2 \sin \left( t + \frac{\pi}{4} \right);$$

Ответ: $-2 \sin \left( t + \frac{\pi}{4} \right)$.

Задано выражение:

$$f(t) = \sqrt{1 — \cos 2t} + \sqrt{1 + \cos 2t}$$

ШАГ 1. Преобразуем подкоренные выражения с помощью тригонометрических тождеств.

Напомним тождество двойного угла:

$$\cos 2t = 1 — 2\sin^2 t = 2\cos^2 t — 1$$

Отсюда:

$$1 — \cos 2t = 2\sin^2 t,\quad 1 + \cos 2t = 2\cos^2 t$$

Подставим в выражение:

$$f(t) = \sqrt{2\sin^2 t} + \sqrt{2\cos^2 t}$$

ШАГ 2. Вынесем множитель из-под корня.

$$f(t) = \sqrt{2} \cdot \sqrt{\sin^2 t} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{\cos^2 t} = \sqrt{2} |\sin t| + \sqrt{2} |\cos t|$$

Важно: Корень из квадрата функции даёт модуль этой функции:

$$\sqrt{a^2} = |a|$$

Поэтому:

$$f(t) = \sqrt{2}|\sin t| + \sqrt{2}|\cos t|$$

ШАГ 3. Раскрытие модулей зависит от интервала, к которому принадлежит $t$.

Рассмотрим все 4 случая:

а) $t \in \left[ \frac{\pi}{2}, \pi \right]$

1. Знаки:

• $\sin t \geq 0$, т.к. от 1 до 0
• $\cos t \leq 0$, т.к. от 0 до -1

Следовательно:

$$|\sin t| = \sin t,\quad |\cos t| = -\cos t$$

Подставим:

$$f(t) = \sqrt{2} \sin t — \sqrt{2} \cos t$$

2. Вынесем общий множитель:

$$f(t) = \sqrt{2} (\sin t — \cos t)$$

3. Представим как синус разности:

Формула:

$$\sin A \cos B — \cos A \sin B = \sin(A — B)$$ $$\sin t — \cos t = 2 \cdot \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \sin t — \frac{\sqrt{2}}{2} \cos t \right)$$ $$f(t) = 2 \left( \cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin t — \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos t \right) = 2 \sin\left( t — \frac{\pi}{4} \right)$$

Ответ:

$$\boxed{2 \sin \left( t — \frac{\pi}{4} \right)}$$

б) $t \in \left[ \frac{3\pi}{2}, 2\pi \right]$

1. Знаки:

• $\sin t \leq 0$
• $\cos t \geq 0$

Тогда:

$$|\sin t| = -\sin t,\quad |\cos t| = \cos t$$ $$f(t) = \sqrt{2} \cos t — \sqrt{2} \sin t$$

2. Вынесем:

$$f(t) = \sqrt{2} (\cos t — \sin t)$$

3. Представим как синус разности:

$$f(t) = 2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cos t — \frac{\sqrt{2}}{2} \sin t \right) = 2 \left( \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos t — \cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin t \right)$$ $$= 2 \sin\left( \frac{\pi}{4} — t \right)$$

Ответ:

$$\boxed{2 \sin \left( \frac{\pi}{4} — t \right)}$$

в) $t \in \left[ 0, \frac{\pi}{2} \right]$

1. Знаки:

• $\sin t \geq 0$
• $\cos t \geq 0$

Тогда:

$$|\sin t| = \sin t,\quad |\cos t| = \cos t$$ $$f(t) = \sqrt{2} \sin t + \sqrt{2} \cos t = \sqrt{2}(\sin t + \cos t)$$

2. Представим как синус суммы:

$$f(t) = 2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \sin t + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos t \right) = 2 \left( \cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin t + \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos t \right)$$ $$= 2 \sin \left( t + \frac{\pi}{4} \right)$$

Ответ:

$$\boxed{2 \sin \left( t + \frac{\pi}{4} \right)}$$

г) $t \in \left[ \pi, \frac{3\pi}{2} \right]$

1. Знаки:

• $\sin t \leq 0$
• $\cos t \leq 0$

Тогда:

$$|\sin t| = -\sin t,\quad |\cos t| = -\cos t$$ $$f(t) = -\sqrt{2} \sin t — \sqrt{2} \cos t = -\sqrt{2}(\sin t + \cos t)$$

2. Представим как синус суммы:

$$f(t) = -2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \sin t + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos t \right) = -2 \left( \cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin t + \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos t \right)$$ $$= -2 \sin \left( t + \frac{\pi}{4} \right)$$

Ответ:

$$\boxed{-2 \sin \left( t + \frac{\pi}{4} \right)}$$

ИТОГОВЫЕ ОТВЕТЫ:

а) $\boxed{2 \sin \left( t — \frac{\pi}{4} \right)}$

б) $\boxed{2 \sin \left( \frac{\pi}{4} — t \right)}$

в) $\boxed{2 \sin \left( t + \frac{\pi}{4} \right)}$

г) $\boxed{-2 \sin \left( t + \frac{\pi}{4} \right)}$