ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.19 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите (с помощью формул понижения степени):

а) $\sin {\mathrm{22,5}}^{\circ }$

б) $\cos {\mathrm{22,5}}^{\circ }$

в) $\sin \frac{3\pi }{8}$

г) $\cos \frac{3\pi }{8}$

Все данные функции положительны, так как их аргумент принадлежит отрезку $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$;

а) $\sin 22{,}5^\circ = \sqrt{\sin^2 \frac{45^\circ}{2}} = \sqrt{\frac{1 — \cos 45^\circ}{2}} = \sqrt{\frac{1 — \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 — \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 — \sqrt{2}}}{2}$;
Ответ: $\frac{\sqrt{2 — \sqrt{2}}}{2}$.

б) $\cos 22{,}5^\circ = \sqrt{\cos^2 \frac{45^\circ}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \cos 45^\circ}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$;
Ответ: $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$.

в) $\sin \frac{3\pi}{8} = \sqrt{\sin^2 \frac{3\pi}{4 \cdot 2}} = \sqrt{\frac{1 — \cos \frac{3\pi}{4}}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$;
Ответ: $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$.

г) $\cos \frac{3\pi}{8} = \sqrt{\cos^2 \frac{3\pi}{4 \cdot 2}} = \sqrt{\frac{1 + \cos \frac{3\pi}{4}}{2}} = \sqrt{\frac{1 — \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 — \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 — \sqrt{2}}}{2}$;
Ответ: $\frac{\sqrt{2 — \sqrt{2}}}{2}$.

Известно, что аргументы всех функций находятся на отрезке $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$, значит, все значения тригонометрических функций положительные.

а) $\sin 22{,}5^\circ$

Шаг 1. Заметим, что $22{,}5^\circ = \frac{45^\circ}{2}$, то есть половина от $45^\circ$.
Применим формулу понижения угла для синуса половинного угла:

$$\sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 — \cos \alpha}{2}}, \quad \text{при } \alpha \in [0^\circ; 180^\circ]$$

Шаг 2. Подставим $\alpha = 45^\circ$:

$$\sin 22{,}5^\circ = \sqrt{\frac{1 — \cos 45^\circ}{2}}$$

Шаг 3. Вспомним табличное значение:

$$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 4. Подставим:

$$\sin 22{,}5^\circ = \sqrt{\frac{1 — \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$$

Шаг 5. Приведем к общему знаменателю:

$$1 = \frac{2}{2}, \quad \Rightarrow \quad \frac{2 — \sqrt{2}}{2}$$

Шаг 6. Теперь делим на 2:

$$\frac{\frac{2 — \sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 — \sqrt{2}}{4}$$

Шаг 7. Извлекаем корень:

$$\sin 22{,}5^\circ = \sqrt{\frac{2 — \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 — \sqrt{2}}}{2}$$

Ответ: $\boxed{\frac{\sqrt{2 — \sqrt{2}}}{2}}$

б) $\cos 22{,}5^\circ$

Шаг 1. Снова используем: $22{,}5^\circ = \frac{45^\circ}{2}$
Формула понижения угла для косинуса:

$$\cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}}, \quad \text{при } \alpha \in [0^\circ; 180^\circ]$$

Шаг 2. Подставим $\alpha = 45^\circ$:

$$\cos 22{,}5^\circ = \sqrt{\frac{1 + \cos 45^\circ}{2}}$$

Шаг 3. Подставим табличное значение:

$$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 4. Подставим:

$$\cos 22{,}5^\circ = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$$

Шаг 5. Приводим к общему знаменателю:

$$1 = \frac{2}{2} \Rightarrow \frac{2 + \sqrt{2}}{2}$$

Шаг 6. Делим на 2:

$$\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$$

Шаг 7. Извлекаем корень:

$$\cos 22{,}5^\circ = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$$

Ответ: $\boxed{\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}}$

в) $\sin \frac{3\pi}{8}$

Шаг 1. Представим $\frac{3\pi}{8}$ как половину:

$$\frac{3\pi}{8} = \frac{3\pi}{4 \cdot 2} = \frac{3\pi}{4} \div 2$$

Шаг 2. Используем формулу:

$$\sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 — \cos \alpha}{2}}, \quad \alpha \in [0; \pi]$$

Шаг 3. Подставим $\alpha = \frac{3\pi}{4}$:

$$\sin \frac{3\pi}{8} = \sqrt{\frac{1 — \cos \frac{3\pi}{4}}{2}}$$

Шаг 4. Табличное значение:

$$\cos \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 5. Подставим:

$$\sin \frac{3\pi}{8} = \sqrt{\frac{1 — (-\frac{\sqrt{2}}{2})}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$$

Шаг 6. Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$$

Шаг 7. Делим на 2:

$$\frac{2 + \sqrt{2}}{4}$$

Шаг 8. Извлекаем корень:

$$\sin \frac{3\pi}{8} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$$

Ответ: $\boxed{\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}}$

г) $\cos \frac{3\pi}{8}$

Шаг 1. Снова:

$$\frac{3\pi}{8} = \frac{3\pi}{4 \cdot 2} = \frac{3\pi}{4} \div 2$$

Шаг 2. Формула:

$$\cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}}, \quad \alpha \in [0; \pi]$$

Шаг 3. Подставим $\alpha = \frac{3\pi}{4}$:

$$\cos \frac{3\pi}{8} = \sqrt{\frac{1 + \cos \frac{3\pi}{4}}{2}}$$

Шаг 4. Подставим значение:

$$\cos \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 5. Подставим:

$$\cos \frac{3\pi}{8} = \sqrt{\frac{1 — \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$$

Шаг 6. Приводим:

$$\frac{2 — \sqrt{2}}{2}$$

Шаг 7. Делим на 2:

$$\frac{2 — \sqrt{2}}{4}$$

Шаг 8. Извлекаем корень:

$$\cos \frac{3\pi}{8} = \sqrt{\frac{2 — \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 — \sqrt{2}}}{2}$$

Ответ: $\boxed{\frac{\sqrt{2 — \sqrt{2}}}{2}}$