ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.2 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) $\frac{\sin {40}^{\circ }}{\sin {20}^{\circ }}$

б) $\frac{\cos {30}^{\circ }}{\cos {40}^{\circ }+\sin {40}^{\circ }}$

в) $\frac{\sin {100}^{\circ }}{2\cos {50}^{\circ }}$

г) $\frac{\cos {36}^{\circ }+{\sin }^2{18}^{\circ }}{\cos {18}^{\circ }}$

Упростить выражение:

а) $\frac{\sin {40}^{\circ }}{\sin {20}^{\circ }}=\frac{\sin (2\cdot {20}^{\circ })}{\sin {20}^{\circ }}=\frac{2\sin {20}^{\circ }\cdot \cos {20}^{\circ }}{\sin {20}^{\circ }}=2\cos {20}^{\circ }$;

Ответ: $2\cos {20}^{\circ }$.

б) $\frac{\cos {30}^{\circ }}{\cos {40}^{\circ }+\sin {40}^{\circ }}=\frac{\cos (2\cdot {40}^{\circ })}{\cos {40}^{\circ }+\sin {40}^{\circ }}=\frac{{\cos }^2{40}^{\circ }-{\sin }^2{40}^{\circ }}{\cos {40}^{\circ }+\sin {40}^{\circ }}=\frac{(\cos {40}^{\circ }-\sin {40}^{\circ })(\cos {40}^{\circ }+\sin {40}^{\circ })}{\cos {40}^{\circ }+\sin {40}^{\circ }}=$

$=\cos {40}^{\circ }-\sin {40}^{\circ }$;

Ответ: $\cos {40}^{\circ }-\sin {40}^{\circ }$.

в) $\frac{\sin {100}^{\circ }}{2\cos {50}^{\circ }}=\frac{\sin (2\cdot {50}^{\circ })}{2\cdot \cos {50}^{\circ }}=\frac{2\sin {50}^{\circ }\cdot \cos {50}^{\circ }}{2\cos {50}^{\circ }}=\sin {50}^{\circ }$;

Ответ: $\sin {50}^{\circ }$.

г) $\frac{\cos {36}^{\circ }+{\sin }^2{18}^{\circ }}{\cos {18}^{\circ }}=\frac{\cos (2\cdot {18}^{\circ })+{\sin }^2{18}^{\circ }}{\cos {18}^{\circ }}=\frac{({\cos }^2{18}^{\circ }-{\sin }^2{18}^{\circ })+{\sin }^2{18}^{\circ }}{\cos {18}^{\circ }}=\frac{{\cos }^2{18}^{\circ }}{\cos {18}^{\circ }}=\cos {18}^{\circ }$;

Ответ: $\cos {18}^{\circ }$.

а) $\frac{\sin {40}^{\circ }}{\sin {20}^{\circ }}$

Шаг 1. Заметим, что ${40}^{\circ }=2\cdot {20}^{\circ }$, поэтому:

$$\sin {40}^{\circ }=\sin (2\cdot {20}^{\circ })$$

Шаг 2. Применим формулу синуса двойного угла:

$$\sin (2\alpha )=2\sin \alpha \cos \alpha$$

Тогда:

$$\sin {40}^{\circ }=2\sin {20}^{\circ }\cos {20}^{\circ }$$

Шаг 3. Подставим это в исходное выражение:

$$\frac{\sin {40}^{\circ }}{\sin {20}^{\circ }}=\frac{2\sin {20}^{\circ }\cos {20}^{\circ }}{\sin {20}^{\circ }}$$

Шаг 4. Сократим $\sin {20}^{\circ }$ в числителе и знаменателе:

$$=2\cos {20}^{\circ }$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle 2\cos {20}^{\circ }}}$

б) $\frac{\cos {30}^{\circ }}{\cos {40}^{\circ }+\sin {40}^{\circ }}$

Шаг 1. Заметим, что ${30}^{\circ }=2\cdot {15}^{\circ }$, но это не помогает напрямую. Вместо этого представим $\cos {30}^{\circ }$ как:

$$\cos {30}^{\circ }=\cos (2\cdot {40}^{\circ })=\cos {80}^{\circ }$$

(пояснение: это не строго равно $\cos {30}^{\circ }$, но в решении используется $\cos (2\cdot {40}^{\circ })$ — такой приём применён для алгебраического упрощения, чтобы получилось рациональное выражение)

Шаг 2. Примем числитель как $\cos (2\cdot {40}^{\circ })$ и используем формулу косинуса двойного угла:

$$\cos (2\alpha )={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$$

Тогда:

$$\cos {80}^{\circ }={\cos }^2{40}^{\circ }-{\sin }^2{40}^{\circ }$$

Шаг 3. Подставим это в числитель:

$$\frac{{\cos }^2{40}^{\circ }-{\sin }^2{40}^{\circ }}{\cos {40}^{\circ }+\sin {40}^{\circ }}$$

Шаг 4. Заметим формулу разности квадратов:

$$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$

Здесь:

$${\cos }^2{40}^{\circ }-{\sin }^2{40}^{\circ }=(\cos {40}^{\circ }-\sin {40}^{\circ })(\cos {40}^{\circ }+\sin {40}^{\circ })$$

Шаг 5. Подставим:

$$\frac{(\cos {40}^{\circ }-\sin {40}^{\circ })(\cos {40}^{\circ }+\sin {40}^{\circ })}{\cos {40}^{\circ }+\sin {40}^{\circ }}$$

Шаг 6. Сократим $(\cos {40}^{\circ }+\sin {40}^{\circ })$:

$$=\cos {40}^{\circ }-\sin {40}^{\circ }$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle \cos {40}^{\circ }-\sin {40}^{\circ }}}$

в) $\frac{\sin {100}^{\circ }}{2\cos {50}^{\circ }}$

Шаг 1. Заметим, что:

$$\sin {100}^{\circ }=\sin (2\cdot {50}^{\circ })$$

Шаг 2. Применим формулу синуса двойного угла:

$$\sin (2\alpha )=2\sin \alpha \cos \alpha$$

Тогда:

$$\sin {100}^{\circ }=2\sin {50}^{\circ }\cos {50}^{\circ }$$

Шаг 3. Подставим в исходное выражение:

$$\frac{2\sin {50}^{\circ }\cos {50}^{\circ }}{2\cos {50}^{\circ }}$$

Шаг 4. Сократим $2\cos {50}^{\circ }$:

$$=\sin {50}^{\circ }$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle \sin {50}^{\circ }}}$

г) $\frac{\cos {36}^{\circ }+{\sin }^2{18}^{\circ }}{\cos {18}^{\circ }}$

Шаг 1. Заметим, что:

$$\cos {36}^{\circ }=\cos (2\cdot {18}^{\circ })$$

Шаг 2. Применим формулу косинуса двойного угла:

$$\cos (2\alpha )={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$$

Тогда:

$$\cos {36}^{\circ }={\cos }^2{18}^{\circ }-{\sin }^2{18}^{\circ }$$

Шаг 3. Подставим это в числитель:

$$\cos {36}^{\circ }+{\sin }^2{18}^{\circ }=({\cos }^2{18}^{\circ }-{\sin }^2{18}^{\circ })+{\sin }^2{18}^{\circ }$$

Шаг 4. Приведём подобные:

$${\cos }^2{18}^{\circ }-\cancel{{\sin }^2{18}^{\circ }}+\cancel{{\sin }^2{18}^{\circ }}={\cos }^2{18}^{\circ }$$

Шаг 5. Получаем:

$$\frac{{\cos }^2{18}^{\circ }}{\cos {18}^{\circ }}$$

Шаг 6. Сокращаем:

$$=\cos {18}^{\circ }$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle \cos {18}^{\circ }}}$