ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.20 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $\sin {11}^{\circ }{15}^{\mathrm{\prime }}\cdot \cos {11}^{\circ }{15}^{\mathrm{\prime }}\cdot \cos {22}^{\circ }{30}^{\mathrm{\prime }}\cdot \cos {45}^{\circ }$

б) $\sin \frac{\pi }{48}\cdot \cos \frac{\pi }{48}\cdot \cos \frac{\pi }{24}\cdot \cos \frac{\pi }{12}=\frac{1}{2}\sin \frac{2\pi }{48}\cdot \cos \frac{\pi }{24}\cdot \cos \frac{\pi }{12}$

а) $\sin 11^\circ 15′ \cdot \cos 11^\circ 15′ \cdot \cos 22^\circ 30′ \cdot \cos 45^\circ =$

$= \frac{1}{2} \sin (2 \cdot 11^\circ 15′) \cdot \cos 22^\circ 30′ \cdot \cos 45^\circ = \frac{1}{2} \sin 22^\circ 30′ \cdot \cos 22^\circ 30′ \cdot \cos 45^\circ =$

$= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \sin (2 \cdot 22^\circ 30′) \cdot \cos 45^\circ = \frac{1}{4} \sin 45^\circ \cdot \cos 45^\circ = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \sin (2 \cdot 45^\circ) =$

$= \frac{1}{8} \cdot \sin 90^\circ = \frac{1}{8}$;

Ответ: $\frac{1}{8}$.

б) $\sin \frac{\pi}{48} \cdot \cos \frac{\pi}{48} \cdot \cos \frac{\pi}{24} \cdot \cos \frac{\pi}{12} = \frac{1}{2} \sin \frac{2\pi}{48} \cdot \cos \frac{\pi}{24} \cdot \cos \frac{\pi}{12} =$

$= \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{24} \cdot \cos \frac{\pi}{24} \cdot \cos \frac{\pi}{12} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \sin \frac{2\pi}{24} \cdot \cos \frac{\pi}{12} = \frac{1}{4} \sin \frac{\pi}{12} \cdot \cos \frac{\pi}{12} =$

$= \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \sin \frac{2\pi}{12} = \frac{1}{8} \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{16}$;

Ответ: $\frac{1}{16}$.

а)

Вычислить:

$$\sin 11^\circ 15′ \cdot \cos 11^\circ 15′ \cdot \cos 22^\circ 30′ \cdot \cos 45^\circ$$

Шаг 1. Первые два множителя:

$$\sin 11^\circ 15′ \cdot \cos 11^\circ 15′$$

Используем тригонометрическую формулу:

$$\sin x \cdot \cos x = \frac{1}{2} \sin(2x)$$

Здесь: $x = 11^\circ 15′$

$$\Rightarrow \sin 11^\circ 15′ \cdot \cos 11^\circ 15′ = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 11^\circ 15′) = \frac{1}{2} \sin 22^\circ 30′$$

Шаг 2. Подставим результат и продолжим:

$$\frac{1}{2} \sin 22^\circ 30′ \cdot \cos 22^\circ 30′ \cdot \cos 45^\circ$$

Шаг 3. Работаем с $\sin 22^\circ 30′ \cdot \cos 22^\circ 30′$:

Опять используем формулу:

$$\sin x \cdot \cos x = \frac{1}{2} \sin(2x)$$

Здесь: $x = 22^\circ 30′$

$$\sin 22^\circ 30′ \cdot \cos 22^\circ 30′ = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 22^\circ 30′) = \frac{1}{2} \sin 45^\circ$$

Шаг 4. Подставим обратно:

$$\frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{2} \sin 45^\circ \right) \cdot \cos 45^\circ = \frac{1}{4} \sin 45^\circ \cdot \cos 45^\circ$$

Шаг 5. Опять используем формулу:

$$\sin 45^\circ \cdot \cos 45^\circ = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 45^\circ) = \frac{1}{2} \sin 90^\circ$$ $$\Rightarrow \frac{1}{4} \cdot \sin 45^\circ \cdot \cos 45^\circ = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \sin 90^\circ$$

Шаг 6. Значение $\sin 90^\circ = 1$:

$$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{8}$$

Ответ а):

$$\boxed{\frac{1}{8}}$$

б)

Вычислить:

$$\sin \frac{\pi}{48} \cdot \cos \frac{\pi}{48} \cdot \cos \frac{\pi}{24} \cdot \cos \frac{\pi}{12}$$

Шаг 1. Первые два множителя:

$$\sin \frac{\pi}{48} \cdot \cos \frac{\pi}{48}$$

Формула:

$$\sin x \cdot \cos x = \frac{1}{2} \sin(2x)$$

Здесь $x = \frac{\pi}{48}$

$$\Rightarrow \sin \frac{\pi}{48} \cdot \cos \frac{\pi}{48} = \frac{1}{2} \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{48}\right) = \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{24}$$

Шаг 2. Подставим результат:

$$\frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{24} \cdot \cos \frac{\pi}{24} \cdot \cos \frac{\pi}{12}$$

Шаг 3. Пара $\sin \frac{\pi}{24} \cdot \cos \frac{\pi}{24}$:

$$\sin x \cdot \cos x = \frac{1}{2} \sin(2x)$$

$x = \frac{\pi}{24} \Rightarrow \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{12}$

$$\Rightarrow \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{12} = \frac{1}{4} \sin \frac{\pi}{12}$$

Шаг 4. У нас теперь:

$$\frac{1}{4} \sin \frac{\pi}{12} \cdot \cos \frac{\pi}{12}$$

Шаг 5. Применяем формулу снова:

$$\sin x \cdot \cos x = \frac{1}{2} \sin(2x)$$

$x = \frac{\pi}{12} \Rightarrow \sin \frac{\pi}{12} \cdot \cos \frac{\pi}{12} = \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{6}$

$$\Rightarrow \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{8} \cdot \sin \frac{\pi}{6}$$

Шаг 6. Значение $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$:

$$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{16}$$

Ответ б):

$$\boxed{\frac{1}{16}}$$