ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.21 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а)

$$\frac{1+\cos {40}^{\circ }+\cos {80}^{\circ }}{\sin {80}^{\circ }+\sin {40}^{\circ }}\cdot \mathrm{tg}{40}^{\circ }$$

б)

$$\frac{1-\cos {25}^{\circ }+\cos {50}^{\circ }}{\sin {50}^{\circ }-\sin {25}^{\circ }}-\mathrm{tg}{65}^{\circ }$$

а)

$$\frac{1+\cos {40}^{\circ }+\cos {80}^{\circ }}{\sin {80}^{\circ }+\sin {40}^{\circ }}\cdot \mathrm{tg}{40}^{\circ }=$$

$$$$$$=\frac{({\cos }^2{40}^{\circ }+{\sin }^2{40}^{\circ })+\cos {40}^{\circ }+({\cos }^2{40}^{\circ }-{\sin }^2{40}^{\circ })}{\sin {80}^{\circ }+\sin {40}^{\circ }}\cdot \mathrm{tg}{40}^{\circ }=$$

$$$$$$=\frac{2{\cos }^2{40}^{\circ }+\cos {40}^{\circ }}{2\sin {40}^{\circ }\cdot \cos {40}^{\circ }+\sin {40}^{\circ }}\cdot \mathrm{tg}{40}^{\circ }=\frac{\cos {40}^{\circ }\cdot (2\cos {40}^{\circ }+1)}{\sin {40}^{\circ }\cdot (2\cos {40}^{\circ }+1)}\cdot \mathrm{tg}{40}^{\circ }=$$

$$$$$$=\frac{\cos {40}^{\circ }}{\sin {40}^{\circ }}\cdot \mathrm{tg}{40}^{\circ }=\mathrm{ctg}{40}^{\circ }\cdot \mathrm{tg}{40}^{\circ }=1;$$

Ответ: $1$.

б)

$$\frac{1-\cos {25}^{\circ }+\cos {50}^{\circ }}{\sin {50}^{\circ }-\sin {25}^{\circ }}-\mathrm{tg}{65}^{\circ }=$$

$$$$$$=\frac{({\cos }^2{25}^{\circ }+{\sin }^2{25}^{\circ })-\cos {25}^{\circ }+({\cos }^2{25}^{\circ }-{\sin }^2{25}^{\circ })}{\sin {50}^{\circ }-\sin {25}^{\circ }}-\mathrm{tg}{65}^{\circ }=$$

$$$$$$=\frac{2{\cos }^2{25}^{\circ }-\cos {25}^{\circ }}{2\sin {25}^{\circ }\cdot \cos {25}^{\circ }-\sin {25}^{\circ }}-\mathrm{tg}{65}^{\circ }=\frac{\cos {25}^{\circ }\cdot (2\cos {25}^{\circ }-1)}{\sin {25}^{\circ }\cdot (2\cos {25}^{\circ }-1)}-\mathrm{tg}{65}^{\circ }=$$

$$$$$$=\frac{\cos {25}^{\circ }}{\sin {25}^{\circ }}-\mathrm{tg}({90}^{\circ }-{25}^{\circ })=\mathrm{ctg}{25}^{\circ }-\mathrm{ctg}{25}^{\circ }=0;$$

Ответ: $0$.

а)

Вычислить выражение:

Шаг 1. Вспомним, что

$${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$$

Подставим в числитель вместо 1 выражение ${\cos }^2{40}^{\circ }+{\sin }^2{40}^{\circ }$:

Шаг 2. Используем формулы приведения

Преобразуем $\cos {80}^{\circ }$ через двойной угол:

$$\cos {80}^{\circ }=\cos (2\cdot {40}^{\circ })={\cos }^2{40}^{\circ }-{\sin }^2{40}^{\circ }$$

Заменим в числителе:

Шаг 3. Группируем числитель

Шаг 4. Преобразуем знаменатель:

Используем формулу суммы синусов:

$$\sin A+\sin B=2\sin \left(\frac{A+B}{2}\right)\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)$$

Применим к $\sin {80}^{\circ }+\sin {40}^{\circ }$:

$$\sin {80}^{\circ }+\sin {40}^{\circ }=2\sin ({60}^{\circ })\cos ({20}^{\circ })$$

Но нам удобнее выразить через $\sin {40}^{\circ }$, поэтому используем:

$$\sin {80}^{\circ }=2\sin {40}^{\circ }\cos {40}^{\circ }\text{(формула: }\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha \text{)}$$

Получим:

$$\sin {80}^{\circ }+\sin {40}^{\circ }=2\sin {40}^{\circ }\cos {40}^{\circ }+\sin {40}^{\circ }=\sin {40}^{\circ }(2\cos {40}^{\circ }+1)$$

Шаг 5. Подставим в дробь:

Числитель:

$$2{\cos }^2{40}^{\circ }+\cos {40}^{\circ }=\cos {40}^{\circ }(2\cos {40}^{\circ }+1)$$

Знаменатель:

$$\sin {40}^{\circ }(2\cos {40}^{\circ }+1)$$

Значит:

Шаг 6. Сократим одинаковые множители:

$$=1$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle 1}}$

б)

Вычислить:

Шаг 1. Заменим 1 на тригонометрическое тождество:

$$1={\cos }^2{25}^{\circ }+{\sin }^2{25}^{\circ }$$

Тогда числитель:

$$({\cos }^2{25}^{\circ }+{\sin }^2{25}^{\circ })-\cos {25}^{\circ }+\cos {50}^{\circ }$$

Шаг 2. Выразим $\cos {50}^{\circ }$:

$$\cos {50}^{\circ }=\cos (2\cdot {25}^{\circ })={\cos }^2{25}^{\circ }-{\sin }^2{25}^{\circ }$$

Подставим:

$$={\cos }^2{25}^{\circ }+{\sin }^2{25}^{\circ }-\cos {25}^{\circ }+({\cos }^2{25}^{\circ }-{\sin }^2{25}^{\circ })$$

Шаг 3. Упростим числитель:

$$({\cos }^2{25}^{\circ }+{\cos }^2{25}^{\circ })+({\sin }^2{25}^{\circ }-{\sin }^2{25}^{\circ })-\cos {25}^{\circ }=2{\cos }^2{25}^{\circ }-\cos {25}^{\circ }$$

Шаг 4. Упростим знаменатель:

$$\sin {50}^{\circ }-\sin {25}^{\circ }$$

Формула разности синусов:

$$\sin A-\sin B=2\cos \left(\frac{A+B}{2}\right)\sin \left(\frac{A-B}{2}\right)$$$$\sin {50}^{\circ }-\sin {25}^{\circ }=2\cos ({37.5}^{\circ })\sin ({12.5}^{\circ })\text{(неудобно)}$$

Но используем:

$$\sin {50}^{\circ }=2\sin {25}^{\circ }\cos {25}^{\circ }$$$$\Rightarrow \sin {50}^{\circ }-\sin {25}^{\circ }=2\sin {25}^{\circ }\cos {25}^{\circ }-\sin {25}^{\circ }=\sin {25}^{\circ }(2\cos {25}^{\circ }-1)$$

Шаг 5. Подставим все:

Числитель:

$$2{\cos }^2{25}^{\circ }-\cos {25}^{\circ }=\cos {25}^{\circ }(2\cos {25}^{\circ }-1)$$

Знаменатель:

$$\sin {25}^{\circ }(2\cos {25}^{\circ }-1)$$

Дробь становится:

Теперь:

Но:

Значит:

Ответ: $\boxed{{\displaystyle 0}}$