ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.22 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а)

$$\frac{\sin {125}^{\circ }}{\sin {55}^{\circ }}-\frac{\cos {125}^{\circ }}{\cos {55}^{\circ }}$$

б)

$$\frac{\cos {150}^{\circ }}{\sin {40}^{\circ }}-\frac{\sin {150}^{\circ }}{\cos {40}^{\circ }}$$

а)

$$\frac{\sin {125}^{\circ }}{\sin {55}^{\circ }}-\frac{\cos {125}^{\circ }}{\cos {55}^{\circ }}=\frac{\sin {125}^{\circ }\cdot \cos {55}^{\circ }-\cos {125}^{\circ }\cdot \sin {55}^{\circ }}{\sin {55}^{\circ }\cdot \cos {55}^{\circ }}=$$

$$\frac{\sin 125^\circ}{\sin 55^\circ} — \frac{\cos 125^\circ}{\cos 55^\circ} = \frac{\sin 125^\circ \cdot \cos 55^\circ — \cos 125^\circ \cdot \sin 55^\circ}{\sin 55^\circ \cdot \cos 55^\circ} =$$ $$= \frac{\sin(125^\circ — 55^\circ)}{0,5 \cdot \sin(2 \cdot 55^\circ)} = \frac{2 \sin 70^\circ}{\sin 110^\circ} = \frac{2 \sin(90^\circ — 20^\circ)}{\sin(90^\circ + 20^\circ)} = \frac{2 \cos 20^\circ}{\cos 20^\circ} = 2;$$

Ответ: $2$.

б)

$$\frac{\cos {150}^{\circ }}{\sin {40}^{\circ }}-\frac{\sin {150}^{\circ }}{\cos {40}^{\circ }}=\frac{\cos {150}^{\circ }\cdot \cos {40}^{\circ }-\sin {150}^{\circ }\cdot \sin {40}^{\circ }}{\sin {40}^{\circ }\cdot \cos {40}^{\circ }}=$$

$$\frac{\cos 150^\circ}{\sin 40^\circ} — \frac{\sin 150^\circ}{\cos 40^\circ} = \frac{\cos 150^\circ \cdot \cos 40^\circ — \sin 150^\circ \cdot \sin 40^\circ}{\sin 40^\circ \cdot \cos 40^\circ} =$$ $$= \frac{\cos(150^\circ + 40^\circ)}{0,5 \cdot \sin(2 \cdot 40^\circ)} = \frac{2 \cos 190^\circ}{\sin 80^\circ} = \frac{2 \cos(180^\circ + 10^\circ)}{\sin(90^\circ — 10^\circ)} = \frac{-2 \cos 10^\circ}{\cos 10^\circ} = -2;$$

Ответ: $-2$.

а)

Вычислить выражение:

$$\frac{\sin 125^\circ}{\sin 55^\circ} — \frac{\cos 125^\circ}{\cos 55^\circ}$$

Шаг 1. Приводим к общей дроби

Выражение имеет вид разности двух дробей:

$$= \frac{\sin 125^\circ \cdot \cos 55^\circ — \cos 125^\circ \cdot \sin 55^\circ}{\sin 55^\circ \cdot \cos 55^\circ}$$

Шаг 2. Используем формулу синуса разности:

$$\sin A \cos B — \cos A \sin B = \sin(A — B)$$

Применим к числителю:

$$\sin 125^\circ \cos 55^\circ — \cos 125^\circ \sin 55^\circ = \sin(125^\circ — 55^\circ) = \sin 70^\circ$$

Значит:

$$= \frac{\sin 70^\circ}{\sin 55^\circ \cdot \cos 55^\circ}$$

Шаг 3. Заменим знаменатель по формуле:

$$\sin 2x = 2 \sin x \cos x \Rightarrow \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$$

Применим для $x = 55^\circ$:

$$\sin 55^\circ \cdot \cos 55^\circ = \frac{1}{2} \sin(110^\circ)$$

Заменим:

$$= \frac{\sin 70^\circ}{\frac{1}{2} \sin 110^\circ} = \frac{2 \sin 70^\circ}{\sin 110^\circ}$$

Шаг 4. Используем формулы приведения:

$$\sin(90^\circ — x) = \cos x, \quad \sin(90^\circ + x) = \cos x$$ $$\sin 70^\circ = \cos 20^\circ, \quad \sin 110^\circ = \sin(90^\circ + 20^\circ) = \cos 20^\circ$$

Подставим:

$$= \frac{2 \cos 20^\circ}{\cos 20^\circ} = 2$$

Ответ: $\boxed{2}$

б)

Вычислить выражение:

$$\frac{\cos 150^\circ}{\sin 40^\circ} — \frac{\sin 150^\circ}{\cos 40^\circ}$$

Шаг 1. Приводим к общей дроби

$$= \frac{\cos 150^\circ \cdot \cos 40^\circ — \sin 150^\circ \cdot \sin 40^\circ}{\sin 40^\circ \cdot \cos 40^\circ}$$

Шаг 2. Используем формулу косинуса суммы:

$$\cos A \cos B — \sin A \sin B = \cos(A + B)$$

Применим:

$$\cos 150^\circ \cdot \cos 40^\circ — \sin 150^\circ \cdot \sin 40^\circ = \cos(150^\circ + 40^\circ) = \cos 190^\circ$$

Теперь:

$$= \frac{\cos 190^\circ}{\sin 40^\circ \cdot \cos 40^\circ}$$

Шаг 3. Заменим знаменатель с помощью:

$$\sin 2x = 2 \sin x \cos x \Rightarrow \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$$

При $x = 40^\circ$:

$$\sin 40^\circ \cdot \cos 40^\circ = \frac{1}{2} \sin 80^\circ$$

Тогда:

$$= \frac{\cos 190^\circ}{\frac{1}{2} \sin 80^\circ} = \frac{2 \cos 190^\circ}{\sin 80^\circ}$$

Шаг 4. Используем формулы приведения:

$$\cos(180^\circ + x) = -\cos x, \quad \sin(90^\circ — x) = \cos x$$ $$\cos 190^\circ = \cos(180^\circ + 10^\circ) = -\cos 10^\circ$$ $$\sin 80^\circ = \sin(90^\circ — 10^\circ) = \cos 10^\circ$$

Подставим:

$$= \frac{2 \cdot (-\cos 10^\circ)}{\cos 10^\circ} = \frac{-2 \cos 10^\circ}{\cos 10^\circ} = -2$$

Ответ: $\boxed{-2}$