ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.25 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а)

$$\cos \frac{\pi }{33}\cdot \cos \frac{2\pi }{33}\cdot \cos \frac{4\pi }{33}\cdot \cos \frac{8\pi }{33}\cdot \cos \frac{16\pi }{33}$$

б)

$$\cos \frac{\pi }{65}\cdot \cos \frac{2\pi }{65}\cdot \cos \frac{4\pi }{65}\cdot \cos \frac{8\pi }{65}\cdot \cos \frac{16\pi }{65}\cdot \cos \frac{32\pi }{65}$$

а)

$$\cos \frac{\pi }{33}\cdot \cos \frac{2\pi }{33}\cdot \cos \frac{4\pi }{33}\cdot \cos \frac{8\pi }{33}\cdot \cos \frac{16\pi }{33}=$$

$$\cos \frac{\pi}{33} \cdot \cos \frac{2\pi}{33} \cdot \cos \frac{4\pi}{33} \cdot \cos \frac{8\pi}{33} \cdot \cos \frac{16\pi}{33} =$$ $$=\frac{16}{32\sin \frac{\pi }{33}}\cdot (2\sin \frac{\pi }{33}\cdot \cos \frac{\pi }{33})\cdot \cos \frac{2\pi }{33}\cdot \cos \frac{4\pi }{33}\cdot \cos \frac{8\pi }{33}\cdot \cos \frac{16\pi }{33}=$$

$$= \frac{16}{32 \sin \frac{\pi}{33}} \cdot \left( 2 \sin \frac{\pi}{33} \cdot \cos \frac{\pi}{33} \right) \cdot \cos \frac{2\pi}{33} \cdot \cos \frac{4\pi}{33} \cdot \cos \frac{8\pi}{33} \cdot \cos \frac{16\pi}{33} =$$ $$=\frac{8}{32\sin \frac{\pi }{33}}\cdot (2\sin \frac{2\pi }{33}\cdot \cos \frac{2\pi }{33})\cdot \cos \frac{4\pi }{33}\cdot \cos \frac{8\pi }{33}\cdot \cos \frac{16\pi }{33}=$$

$$= \frac{8}{32 \sin \frac{\pi}{33}} \cdot \left( 2 \sin \frac{2\pi}{33} \cdot \cos \frac{2\pi}{33} \right) \cdot \cos \frac{4\pi}{33} \cdot \cos \frac{8\pi}{33} \cdot \cos \frac{16\pi}{33} =$$ $$=\frac{4}{32\sin \frac{\pi }{33}}\cdot (2\sin \frac{4\pi }{33}\cdot \cos \frac{4\pi }{33})\cdot \cos \frac{8\pi }{33}\cdot \cos \frac{16\pi }{33}=$$

$$= \frac{4}{32 \sin \frac{\pi}{33}} \cdot \left( 2 \sin \frac{4\pi}{33} \cdot \cos \frac{4\pi}{33} \right) \cdot \cos \frac{8\pi}{33} \cdot \cos \frac{16\pi}{33} =$$ $$=\frac{2}{32\sin \frac{\pi }{33}}\cdot (2\sin \frac{8\pi }{33}\cdot \cos \frac{8\pi }{33})\cdot \cos \frac{16\pi }{33}=$$

$$= \frac{2}{32 \sin \frac{\pi}{33}} \cdot \left( 2 \sin \frac{8\pi}{33} \cdot \cos \frac{8\pi}{33} \right) \cdot \cos \frac{16\pi}{33} =$$ $$= \frac{2 \sin \frac{16\pi}{33} \cdot \cos \frac{16\pi}{33}}{32 \sin \left( \pi — \frac{32\pi}{33} \right)} = \frac{\sin \frac{32\pi}{33}}{32 \sin \frac{32\pi}{33}} = \frac{1}{32};$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{1}{32}}$$

б)

$$\cos \frac{\pi }{65}\cdot \cos \frac{2\pi }{65}\cdot \cos \frac{4\pi }{65}\cdot \cos \frac{8\pi }{65}\cdot \cos \frac{16\pi }{65}\cdot \cos \frac{32\pi }{65}=$$

$$\cos \frac{\pi}{65} \cdot \cos \frac{2\pi}{65} \cdot \cos \frac{4\pi}{65} \cdot \cos \frac{8\pi}{65} \cdot \cos \frac{16\pi}{65} \cdot \cos \frac{32\pi}{65} =$$ $$=\frac{32}{64\sin \frac{\pi }{65}}\cdot (2\sin \frac{\pi }{65}\cdot \cos \frac{\pi }{65})\cdot \cos \frac{2\pi }{65}\cdot \cos \frac{4\pi }{65}\cdot \cos \frac{8\pi }{65}\cdot \cos \frac{16\pi }{65}\cdot \cos \frac{32\pi }{65}=$$

$$= \frac{32}{64 \sin \frac{\pi}{65}} \cdot \left( 2 \sin \frac{\pi}{65} \cdot \cos \frac{\pi}{65} \right) \cdot \cos \frac{2\pi}{65} \cdot \cos \frac{4\pi}{65} \cdot \cos \frac{8\pi}{65} \cdot \cos \frac{16\pi}{65} \cdot \cos \frac{32\pi}{65} =$$ $$=\frac{16}{64\sin \frac{\pi }{65}}\cdot (2\sin \frac{2\pi }{65}\cdot \cos \frac{2\pi }{65})\cdot \cos \frac{4\pi }{65}\cdot \cos \frac{8\pi }{65}\cdot \cos \frac{16\pi }{65}\cdot \cos \frac{32\pi }{65}=$$

$$= \frac{16}{64 \sin \frac{\pi}{65}} \cdot \left( 2 \sin \frac{2\pi}{65} \cdot \cos \frac{2\pi}{65} \right) \cdot \cos \frac{4\pi}{65} \cdot \cos \frac{8\pi}{65} \cdot \cos \frac{16\pi}{65} \cdot \cos \frac{32\pi}{65} =$$ $$=\frac{8}{64\sin \frac{\pi }{65}}\cdot (2\sin \frac{4\pi }{65}\cdot \cos \frac{4\pi }{65})\cdot \cos \frac{8\pi }{65}\cdot \cos \frac{16\pi }{65}\cdot \cos \frac{32\pi }{65}=$$

$$= \frac{8}{64 \sin \frac{\pi}{65}} \cdot \left( 2 \sin \frac{4\pi}{65} \cdot \cos \frac{4\pi}{65} \right) \cdot \cos \frac{8\pi}{65} \cdot \cos \frac{16\pi}{65} \cdot \cos \frac{32\pi}{65} =$$ $$=\frac{4}{64\sin \frac{\pi }{65}}\cdot (2\sin \frac{8\pi }{65}\cdot \cos \frac{8\pi }{65})\cdot \cos \frac{16\pi }{65}\cdot \cos \frac{32\pi }{65}=$$

$$= \frac{4}{64 \sin \frac{\pi}{65}} \cdot \left( 2 \sin \frac{8\pi}{65} \cdot \cos \frac{8\pi}{65} \right) \cdot \cos \frac{16\pi}{65} \cdot \cos \frac{32\pi}{65} =$$ $$=\frac{2}{64\sin \frac{\pi }{65}}\cdot (2\sin \frac{16\pi }{65}\cdot \cos \frac{16\pi }{65})\cdot \cos \frac{32\pi }{65}=$$

$$= \frac{2}{64 \sin \frac{\pi}{65}} \cdot \left( 2 \sin \frac{16\pi}{65} \cdot \cos \frac{16\pi}{65} \right) \cdot \cos \frac{32\pi}{65} =$$ $$= \frac{2 \sin \frac{32\pi}{65} \cdot \cos \frac{32\pi}{65}}{64 \sin \left( \pi — \frac{64\pi}{65} \right)} = \frac{\sin \frac{64\pi}{65}}{64 \sin \frac{64\pi}{65}} = \frac{1}{64};$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{1}{64}}$$

а) Вычислить:

$$\cos \frac{\pi}{33} \cdot \cos \frac{2\pi}{33} \cdot \cos \frac{4\pi}{33} \cdot \cos \frac{8\pi}{33} \cdot \cos \frac{16\pi}{33}$$

Шаг 1. Заметим структуру

Аргументы в градусах:

$$\frac{\pi}{33}, \frac{2\pi}{33}, \frac{4\pi}{33}, \frac{8\pi}{33}, \frac{16\pi}{33} \Rightarrow \text{это степени двойки} \cdot \frac{\pi}{33}$$

Можно представить:

$$\cos \left(2^0 \cdot \frac{\pi}{33}\right), \cos \left(2^1 \cdot \frac{\pi}{33}\right), \cos \left(2^2 \cdot \frac{\pi}{33}\right), \dots, \cos \left(2^4 \cdot \frac{\pi}{33}\right)$$

Шаг 2. Применим тождество

Используем следующее тригонометрическое тождество:

$$\prod_{k=0}^{n-1} \cos \left( 2^k x \right) = \frac{\sin(2^n x)}{2^n \sin x}$$

Здесь:

• $x = \frac{\pi}{33}$
• $n = 5$ (т.к. 5 множителей)

Следовательно:

$$\cos \frac{\pi}{33} \cdot \cos \frac{2\pi}{33} \cdot \cos \frac{4\pi}{33} \cdot \cos \frac{8\pi}{33} \cdot \cos \frac{16\pi}{33} = \frac{\sin(32\pi/33)}{32 \cdot \sin(\pi/33)}$$

Шаг 3. Упростим числитель

$$\sin\left( \frac{32\pi}{33} \right) = \sin\left( \pi — \frac{\pi}{33} \right) = \sin \frac{\pi}{33}$$

(Поскольку $\sin(\pi — x) = \sin x$)

Шаг 4. Подставим обратно

$$\frac{\sin \frac{32\pi}{33}}{32 \cdot \sin \frac{\pi}{33}} = \frac{\sin \frac{\pi}{33}}{32 \cdot \sin \frac{\pi}{33}} = \frac{1}{32}$$

Ответ (а):

$$\boxed{\frac{1}{32}}$$

б) Вычислить:

$$\cos \frac{\pi}{65} \cdot \cos \frac{2\pi}{65} \cdot \cos \frac{4\pi}{65} \cdot \cos \frac{8\pi}{65} \cdot \cos \frac{16\pi}{65} \cdot \cos \frac{32\pi}{65}$$

Шаг 1. Заметим структуру

Углы:

$$2^0 \cdot \frac{\pi}{65}, 2^1 \cdot \frac{\pi}{65}, \dots, 2^5 \cdot \frac{\pi}{65}$$

n = 6, $x = \frac{\pi}{65}$

Шаг 2. Используем формулу

$$\prod_{k=0}^{5} \cos \left(2^k x\right) = \frac{\sin(2^6 x)}{2^6 \cdot \sin x} = \frac{\sin \left( \frac{64\pi}{65} \right)}{64 \cdot \sin \left( \frac{\pi}{65} \right)}$$

Шаг 3. Упростим числитель

$$\sin \left( \frac{64\pi}{65} \right) = \sin \left( \pi — \frac{\pi}{65} \right) = \sin \frac{\pi}{65}$$

Шаг 4. Подставим

$$\frac{\sin \frac{\pi}{65}}{64 \cdot \sin \frac{\pi}{65}} = \frac{1}{64}$$

Ответ (б):

$$\boxed{\frac{1}{64}}$$